Mục Lục


 

  Trang B́a
     
 Ban Biên Tập
  Lá TĐầu Năm Đinh Dậu
     
Bs Lê Ánh
 
STáo Quân
     
Nguyễn Xuân Hoàng
 Câu Đối Tết
       Vinh H

 

 

TVi


 TVi Phong Thủy Năm
     
Đinh Dậu 2017

     
Phạm Kế Viêm

 

 

Kinh Tế
 


  Tổng Kết T́nh H́nh Kinh Tế
      
M và Việt Nam Năm 2016

       Nguyễn Văn Thành

 

 

Chúc Tết

 

  Xuân Vui Say
      Việt Hải
 
Chúc Xuân Đinh Dậu
     
Khúc Ca Yêu Đời
     
Mừng Xuân Đinh Dậu

     
Vinh H

 
Chúc Xuân/Xuân V
     
Lư H
 
Mừng Xuân Đinh Dậu
      Lê Văn N

 


X
uân Cảm



  Mùa Nhớ
      An Giang
 
Ninh Ḥa Tết Xưa
      Huyền Chiêu
 
Nàng Xuân Réo Gọi
      Bạch Liên
 

 

 

Hoa Xuân
H
́nh nh Tết
 

  Cây Cảnh
      Lê Thị Lộc
 
H́nh nh Tết
      Hải Lộc
 
Hoa Xuân Ngày Tết
      Lê Thị Lộc


 

 

d_bb
Đ.H.K.H
 


  Liêu Trai C Dị (402-403)
     
 Đàm Quang Hưng
  Nghi Ngờ Sách Luận Ngữ-06
     
 Lê Phụng
  KHuyết:  Phần 07
     
 Nguyễn Hữu Quang
  Cùng Một Chuyến Xe
     
Nguyễn Quang Tuyến
  TSGhi Thời Đi Học
     
Nguyễn Đc Tường
  TVi Phong Thủy Năm
     
Đinh Dậu 2017

     
Phạm Kế Viêm

 

 

Đời Thường
 

 

  Tâm T́nh Ngày Tết
      Phạm Thanh Khâm
 
Ḷng M
      Bạch Liên
 
Người Viễn X Nơi Công Viên
     
Đặng Thị Tuyết N
 
Ḷng Tốt
      Thùy Trang
 
Mùa Xuân Và Người Cao Tuổi
     
Mai Thị Tuyết Hồng
  Tản Mạn
      Nguyễn Thùy Trang

 

 

Sinh Hoạt
 

  Tất Niên 2017 Của Nhóm Bạn
     
C3 Tại M

      Trâm Anh
 
Đêm T́nh Ca Mùa Xuân
      Vinh H
Hội Thân Hữu Ninh-Ḥa-
     
Dục-Mỹ: Họp Mặt Lần Thứ 17

      Hà Thị Thu Thủy

 

 


Ca Hát

   

 
Đón Xuân/Nhớ Xuân/Đừng
     
Buông Xuôi/Đừng Thờ Ơ

     
Lư H
  Tâm SNàng Xuân
     
Hà Thị Thu Thủy
 

 

 

Năm Đinh Dậu
N
ói Chuyện Gà

 


 
Năm Đinh Dậu Nói Chuyện Gà
     
Nguyễn Chức
 
Gà QTôi
     
Nguyễn Xuân Hoàng
 
Chuyện Gà
      Bạch Liên
  Vịnh Con Gà Trống
      
Tiếng Gà Gáy
     
Hết Khỉ Đến Gà
     
Vịnh Con Gà Mái
     
Anh Dậu Làm Vua
     
Gà Trống Nuôi Con

     
Vinh H

 

 

 

Tranh
N
ghệ Thuật

 


 
Cắm Hoa Trang T
      Lê Thị Lộc
 
H́nh nh/Tranh Gà
      Ninh-Hoa.com
 

 

 

Tưởng Niệm

 

  Tưởng Niệm Gs Nguyễn Thanh
     
Liêm

      Việt Hải
  Xuân Này Không Gặp Lại Anh
      Phương Hiền
 
Tiễn Hương Linh VCực Lạc
     
Quốc - Thành Kính Phân Ưu

      Lê Văn N

 

 


Văn Hóa
m Thực

 



 
Bánh T
      Vân Anh
 
Những Món Ăn Ngày Tết
     
QTôi

      Ngọc Hương
 
Tết Đến Xuân V Nói Chuyện
     
Rưiợu

      Vơ Hoàng Nam
  Ḿ Quảng
     
Hà Thị Thu Thủy
  Bánh Táo
     
Hà Thị Thu Thủy

 



Sức Khỏe

      
  Ăn Thiếu Chất Béo (Dầu Và
     
Mỡ) Hại Sức Khỏe Và Nguy
     
Hiểm Đến Tính Mạng

      Bs Lê Ánh
 
Lạnh Mùa Đông
      Bs Lê Ánh
 
Ph́nh Mạch Máu Năo
      Bs Lê Ánh
 


 

Du Lịch/
Đ
ịa Danh
 

  Hoàng Hôn Trên Sông Danube
      Nguyễn Thị Lộc
 
MMuối Wieliczka, K Quan
     
Đặc Sắc Trong Ḷng Đất
     B
a Lan

      Nguyễn Thị Lộc
 
Nguồn Gốc Địa Danh Ḥa Lai
     
Tỉnh Ninh Thuận

      Nguyễn Văn Nghệ



 

 Thầy Xưa
Bạn Cũ Tâm S

 

  Tâm SCuối Năm
     
Nguyễn Thị Phương Hiền
 
T́m VTm
     
Mai Thị Hưng Hồng
 
Niềm Vui Ngày Hội Ngộ
     
Trần Hà Thanh
 
Cô SVề...
     
Nguyễn Thị T
 
Tâm T́nh X Vạn
     
Nguyễn Thị T
 
Họp Lớp Ngày Xưa
     
Bs Huỳnh T́nh



 

Văn Học NT
Q
uan Điểm
 


 
Xuân Đi, Xuân Đến, Xuân
     
Lại Lại

      Bs Lê Ánh
 
n Tượng Cây Nêu Ngày Tết
     
Tại Ana Mandara-(NhaTrang)

      TBửu
 
Đầu Năm-Đón Giao Thừa
     
Đi LChùa Hái Lộc Đầu Xuân

      TBửu
 
Buồn QHôm Nay Xem
     
Tiểu Thuyết

      Lương LHuyền Chiêu
 
Thương Em Mong Manh N
     
Một Cành Lan

      Lương LHuyền Chiêu
 
Bảo Ḥa Liên Kết Mạng
     
Vũ Trụ

      Liên Khôi Chương
 
Rằm Cuối Năm
     
Quách Giao
 
Hoa Tết
      Thùy Giang
  Tục Khai Bút Và Xin Chữ
     
Đầu Năm Đầu Xuân

     
Việt Hải
 
Gà Trong Ca Dao Tục Ngữ
      
Vinh H
 
Đêm Đưa Ông Táo
     
Trần Thị Phong Hương
 
Hương Cúc
      Bạch Liên
 
Cái Nh́n Của Người Xưa V
     
Đảng Phái

      Nguyễn Văn Nghệ
 
Điểu Minh Giản
     
Dương Anh Sơn
 
Điệu Valse Mùa Xuân
     
Tíểu Vũ Vi
 

 



T
 



 
Giàn Hoa Năm Cũ
      Huyền Chiêu
 
Những Cậu Học T Ngày
     
Xưa y

      Huyền Chiêu
 
Sang Năm Xuân C̣n Đến...
     
Nguyễn Hiền
 
Nhớ Dă Quỳ
     
Nguyễn Thị Phương Hiền
 
Lại Mừng Năm Mới
     
Nguyễn Văn Ḥa
 
N Đă...Cuối Năm!
     
Nguyễn Văn Ḥa
 
Xuân H!
     
Nguyễn Văn Ḥa
 
TNói Lái Xuân Đinh Dậu
      
Vinh H
   Xuân Sầu
      
Lư H
 
Việt Nam Nguyện Ước
      Phan Phước Huy
 
Xuân Mới - Khúc T́nh Xuân
     
Tôi Măi Chờ Xuân

      Nguyễn Lai
 
Mồng Ba
      Bạch Liên
 
Hương T́nh Một Thuở
      Lê Thị Lộc
 
Mai Chiếu Thủy
      Nhất Chi Mai
 
Xuân Ước Mơ
      Lê Văn N
 
Nỗi Niềm
      
NQ
 
Bài Tango Xuân Cho Em
     
Bích Phượng
 
Mừng Xuân Đinh Dậu
     
Nguyễn Thu Tâm
 
Trăn Trối
     
Mai Thái Vân Thanh
 
Có Phải Là Xuân
     
Kim Thành
 
Cánh Thiệp Đầu Xuân
     
ThiThi
 
Cô Có Về...
     
Bs Huỳnh T́nh
  
Anh Đă Đến Mùa Xuân
     
Tíểu Vũ Vi
 


Văn

 


 
Hơn C Tháng Năm
      An Giang
 
Ngày Cũ Đă Qua
     
Lê Thị MChâu
 
Nghe Mủi Cơm Chiều 30 Tết
      Thùy Giang
 
Tết Nhớ Q
     
Hoàng Bích Hà
 
Tết Buồn
     
Nguyễn Hiền
 
Những Mùa Xuân Nhớ Măi
     
Nguyễn Thị Phương Hiền
 
Đời Người Có Mấy Mùa Xuân?
     
Mai Thị Hưng Hồng
 
Hạnh Phúc Ngập Tràn
     
Mai Thị Tuyết Hồng
 
Trồng Rau Bán Tết
     
Nguyễn Thị K
 
T́nh Q
      Bạch Liên
 
Xuân V! Nh́n Lại Khoảng
     
Đời Qua...

      Hải Lộc
 
Bước Chân Nối Gót
      Nguyễn Thị Lộc
 
Anh Việt Kiều Và Cô Gái
     
Giang H

      Topa Panning
 
Mùa Xuân...C̣n Xanh
     
Lê Thị Thanh Tâm
 
N Kê Tác Quái !
     
Mai Thái Vân Thanh
  Giấc Mơ Của Chàng Lính Biển
      
K 47

       Nguyễn Văn Thành

 

 

 

 

 

Thư từ, bài vở, h́nh ảnh hoặc
ư kiến xây dựng, xin liên lạc:


 
diem27thuy@yahoo.com

 



 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 M

 
ột buổi sáng mùa Thu năm 1996, tôi nhận được một phong thư đến từ Dallas, TX; bên trong là một bức thư ngắn, bắt đầu bằng, “Moa là Quỳnh Tiêu, học cùng lớp với bạn hơn 40 năm về trước; bạn c̣n nhớ moa không...” Anh viết tiếp là đang lập lại danh sách Lớp Khải Định 48-55 (KĐ 48-55) và mời viết bài cho một tập san dự định xuất bản hàng năm, mang tên Tập san 48-55 Khải Định.  

Thành viên của KĐ 48-55 là những người vào lớp đệ thất trường Trung Học Khải Định (sau đổi thành trường Quốc Học) năm 1948, ra trường (không nhất thiết) năm 1955 và bất cứ ai rơi vào cùng lớp trong những năm đó dù chỉ một, hai năm. Năm 1948, chạy giặc, lớp học của tôi thường là một ngôi đ́nh hay ngôi chùa nào đó trong vùng châu thổ sông Thái B́nh; do đó tôi không thể là một thành viên blue blood của KĐ 48-55 mà chỉ thuộc vào loại “bất cứ ai”. Sau khi đỗ Tú tài I ở Nguyễn Trăi, Hà Nội, tôi “nhẩy dù” vào học đúng năm cuối cùng của trung học ở Khải Định, rồi phân tán, thành ra bạn bè trung học của tôi dường như chẳng có ai. V́ vậy, nhận được thư của Quỳnh Tiêu, sau một phút ngỡ ngàng, tôi mừng vô hạn, moa c̣n nhớ bạn lắm chứ, mặt tṛn tṛn, tính t́nh hiền lành, ít nói, con người khiêm tốn, đôn hậu, rất dễ thương... Trong hơn 40 năm, tôi sống gần như incognito, bạn đă mất công kiếm ra tôi, mang lại cho tôi bạn bè cũ, cho tôi một chỗ để bám víu, để đi về. Tự nhiên tôi có thêm một gia đ́nh thật lớn suốt mười mấy năm nay; tất nhiên tôi phải là một thành viên của KĐ 48-55, rất catholic, có khi c̣n catholic hơn cả ông Pope. Cảm ơn Quỳnh Tiêu.

C̣n việc viết bài cho Tập san 48-55 Khải Định? Trước kia tôi có viết chút đỉnh, nhưng đă lâu lắm, tôi ít nói tiếng Việt, đọc tiếng Việt c̣n ít hơn, viết ǵ bây giờ đây? Ghi lại chuyện buồn vui của đời học tṛ và kinh nghiệm của cuộc sống, nhưng phải có chữ đă chứ! Không sao, miễn là ta có ḷng. Những ngày đầu, đó là những coọc-vê dài dài, những câu tiếng Việt lổn nhổn đầy tiếng Anh, chờ được tra tự vị. Đôi khi, trong đầu lóe ra một từ Việt hay hay, vội vàng ghi xuống cuối trang, cho khỏi quên, để rồi khi có dịp sẽ làm một câu với từ đó. Đôi khi dịch từ tiếng Anh sang tiếng Việt, tôi rất thích và rất hănh diện đă dùng một cụm từ với h́nh ảnh mà tôi nghĩ tiếng Việt chưa ai dùng: để chỉ một trạng thái bàng hoàng như trong, “... bàng hoàng, hắn không biết là ḿnh đang đi vào hay đi ra.” (... he doesn't know whether he is coming or going.) Cứ như thế, tôi viết cho Tập san Khải Định và các tạp chí khác. Một lần, có người giới thiệu “nhà văn...”, “who, me?” một phản ứng tự động khiến tôi đưa mắt nh́n xem có ai đứng sau lưng không? Cảm ơn Quỳnh Tiêu.

Được ngồi chung chiếu với đám KĐ 48-55 này là một vinh dự lớn. Họ là những người con ưu tú của đất nước, như Quỳnh Tiêu đây, học xong ở Khải Định, anh tiếp tục học ở trường Đại Học Kiến Trúc Sài G̣n. Hiện nay dấu ấn của anh hăy c̣n tồn tại ở nhiều nơi trong nước, như bệnh viện Nguyễn Văn Học (Gia Định) hay Viện Đại Học (Huế); Quỳnh Tiêu là một trong những kiến trúc sư chính thiết kế đồ án.

Tập san 48-55 Khải Định ra đời đến nay đă được 16 tập, mỗi tập năm, bẩy trăm trang. Nh́n dẫy Tập San đứng cạnh nhau trên kệ sách, một cố gắng tập thể rất đáng kể, ta không thể quên Quỳnh Tiêu, anh cũng đă làm chủ biên của Tập San số 3 và số 11. Danh sách KĐ 48-55 có chưa đầy 500 tên; mười mấy năm nay, số tên tất nhiên không thay đổi nhưng dấu hoa thị (*) đánh dấu những người đă vĩnh viễn ra đi mỗi ngày một nhiều. Tập San số 17 sẽ được xuất bản trong mùa hè năm nay, không biết KĐ 48-55 sẽ c̣n đủ sức, đủ nhân lực để xuất bản được bao nhiêu số nữa? 

Hôm qua, nhận được điện thư báo tin Quỳnh Tiêu cũng đă ra đi, tôi sửng sốt, bàng hoàng trong một phút, không biết ḿnh đang đi vào hay đi ra. Quỳnh Tiêu thân mến, tôi măi măi nhớ bạn và đă để bên cạnh tên bạn một ngôi sao. 

o0o 

Khóa học mùa Xuân năm 1962 tôi học xong Master về Vật lư, đồng thời trong kỳ học này tôi cũng qua được kỳ thi tổng hợp (comprehensive exam) bắt buộc phải qua trước khi tiếp tục học cao hơn. Mùa hè này sẽ không có chuyện đi chơi. Tôi không phàn nàn. Mùa hè năm trước, tôi đă đi dọc ngang, lang thang khắp lục địa Hoa Kỳ; sau hơn hai tháng, lết về được đến “nhà”, mừng quá, thấy cái ǵ cũng thân thương, kể cả cái ḷ sưởi chạy bằng nước nóng, mùa đông cứ nhè nửa đêm kêu ping ping, giật cả ḿnh. Một vụ hè ở nhà làm việc, cũng hay thôi. 

Sau kỳ thi tổng hợp, bạn cùng lớp ngồi kể chuyện vui, kháo nhau về mấy vị giáo sư, hay nghe các giáo sư cố vấn học tŕnh nói về chuyên ngành của các giáo sư này nọ cho sinh viên liệu đường chọn lựa. Có lẽ chẳng cần lắm v́ ai cũng gần như đă có chủ đích. Riêng tôi vừa học xong lớp Cơ học Thống kê mà tôi rất thích, tôi bèn t́m gặp giáo sư Joseph Ford v́ chuyên ngành của ông là môn này, xin học một lớp đề tài đặc biệt (Special Topic), thử thời vận. Thử thời vận v́ tôi hăy c̣n phân vân trong việc chọn ngành; đến từ Sài G̣n mới được hơn một năm, tôi thấy môn nào cũng hấp dẫn, những lớp một thầy một tṛ này thường để sửa soạn và t́m hiểu, có thể dẫn đến luận án tiến sĩ.  

Joe Ford dáng người cao lớn, điển trai, rất thể thao (thú tiêu khiển của ông là đua lái thuyền buồm), tính t́nh ḥa nhă vui vẻ. Ông khá tiêu biểu cho lớp giáo sư Hoa Kỳ, trẻ hay già, không stuffy, có một kho chuyện cười phong phú, một câu khôi hài sẵn trên môi. Và cũng thích đùa; thí dụ một lần, nhân chuyện ǵ đó, ông chỉ người bạn to lớn nhưng hiền như bụt đứng gần bên, nói “Thằng này dữ, cẩn thận, nó có thể thụi mày bất cứ lúc nào!” (This guy is mean, careful, he can slug you anytime!) Tôi thấy thoải mái với ông ngay từ đầu. Tôi nói muốn xin ông cho tôi theo học trong vụ hè. Sau vài phút trao đổi, ông t́m trong đống sách, lấy đưa một tập in roneo mỏng gồm ít bài giảng của Lyapunov và bảo đọc cẩn thận. Lyapunov (1857-1918) là một nhà toán-vật lư học quan trọng; những bài giảng của ông được dịch từ tiếng Nga ra nhiều thứ tiếng, định lư giới hạn ở tâm (central limit theorem) của ông là một trong những định lư trụ cột trong các sách về xác suất. Ford nói qua về Lyapunov rồi đề nghị trong vụ hè tôi khảo sát sự phân chia năng lượng (energy sharing) của một hệ thống gồm nhiều dao động tử liên kết. 

Dao động tử điều ḥa, tiếng Anh là harmonic oscillator, nghe th́ sang nhưng có thể được h́nh dung cụ thể bằng một cái ḷ-xo hay con lắc. Dẫu vậy, ta chẳng nên cười thân phận thấp hèn của nó v́ thứ dao động tuần hoàn này là một chuyển động cơ bản trong thiên nhiên, có mặt khắp mọi nơi. Sidney Coleman, cố giáo sư rất được kính mến của Đại học Harvard, có nói: “Sự nghiệp của một nhà vật lư lư thuyết trẻ gồm cố t́m hiểu dao động tử điều ḥa ở tŕnh độ trừu tượng càng ngày càng gia tăng” (“The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.”)  

Ta đă học về con lắc từ thời c̣n ở trung học. Đây là một thứ con lắc lư tưởng, được giản dị hóa đến tối đa cho tiện việc khảo cứu: con lắc gồm một thanh cứng, có khối lượng zêrô, một đầu được gắn chặt một vật nặng, đầu kia có thể chuyển động quanh một trục không có sự ma sát; trong điều kiện này, con lắc có thể được xem như chuyển động trong một mặt phẳng thẳng đứng, sức cản của không khí không đáng kể. Việc c̣n lại là áp dụng định luật Newton, viết rồi giải phương tŕnh chuyển động cho con lắc.  

Nói chung, phương tŕnh chuyển động là một (hay nhiều) phương tŕnh vi phân diễn tả sự tiến triển với thời gian của một hiện tượng tự nhiên. Điều này ám chỉ một sự việc quan trọng là tính chất tất định (deterministic): nếu ta giải được phương tŕnh vi phân, biết trạng thái lúc đầu của hiện tượng ta có thể tiên đoán được những trạng thái tương lai và, tùy trường hợp, có khi kiểm chứng lại được cả quá khứ. Nhưng viết phương tŕnh là một chuyện, giải được phương tŕnh là một chuyện khác. Những phương tŕnh viết được cho hiện tượng tự nhiên thường thuộc loại không tuyến tính (non-linear) mà toán cổ điển, cho đến giữa thế kỷ thứ 20, chỉ chú trọng giải những phương tŕnh tuyến tính. Mỗi khi gặp bài toán không tuyến tính, người ta t́m cách tuyến tính hóa nó để giải. (Với một phương tŕnh vi phân tuyến tính, phối hợp hai lời giải ta vẫn được một lời giải; thật ra, vô số lời giải. Trong sách giáo khoa ta thấy hầu hết là phương tŕnh vi phân tuyến tính và những bài toán có thể giải được.)  

Trong trường hợp con lắc, lời giải của bài toán liên hệ tới hàm elliptic, không dễ kiếm trong những sách toán cơ bản; bài toán được tuyến tính hóa bằng cách chỉ xét đến những dao động nhỏ (con lắc chạy không xa quá vị trí cân bằng thẳng đứng, v́ vậy hạn chế giá trị của lời giải), do đó có thể giải được dễ dàng và kết quả là chuyển động tuần hoàn như mong đợi. Đó là con lắc ta học ở trung học, chạy đi chạy lại – hai chiều, ta có thể tính được chu kỳ của nó.  

Đầu thế kỷ thứ 20, tính chất tất địnhkhông tuyến tính bắt đầu trở nên những thử thách; không tuyến tính đặc biệt là bà con rất gần với một hiện tượng mới mang tên hỗn độn và sự khảo sát phương tŕnh vi phân, ngoài phần khảo sát định lượng (lời giải dưới h́nh thức một công thức) nay c̣n thêm phần khảo sát định tính (giải thích hiện tượng). Để giữ sự liên tục, phần phụ chú ở cuối bài sẽ nói thêm về con lắc, thử khảo sát tính chất (định tính) của con lắc trong trường hợp tổng quát mà không hề giải phương tŕnh chuyển động. 

o0o

Câu chuyện bắt đầu năm 1887, nhân ngày sinh nhật 60 tuổi, vua Oscar II của Thụy Điển treo giải thưởng 2500 crowns cho toán gia nào có thể trả lời được một câu hỏi cơ bản về thiên văn; câu hỏi khá dài nhưng tinh thần có thể được tóm tắt, “Thái dương hệ có ổn định không?” Nhân loại bận rộn kiếm sống, làm giầu, lo việc chiến tranh v.v. làm sao có người có th́ giờ bận tâm đến chuyện trên trời này; v́ vậy, thật là một viễn tượng hăi hùng nếu một hôm thức dậy ta không c̣n thấy mặt trời v́ trái đất đă chui xuống một cái rănh nào trong vũ trụ. Ta sống đă quen, xuân qua, hạ đến, bốn mùa tuần hoàn không bao giờ thay đổi; việc trái đất biến đi hay rơi xuống rănh, nếu xảy ra chỉ có thể xảy ra một lần. Việc đó đă không xảy ra năm ngoái, năm kia chắc sẽ không xảy ra sang năm. Tuy nhiên, cuối thế kỷ thứ 19, đây là một câu hỏi thực tế, quan trọng v́ tuy cơ học Newton có thể giải được bài toán gồm hai vật thể, chứng minh được trái đất chuyển động quanh mặt trời theo một quỹ đạo bền (ổn định), tuần hoàn; thế nhưng thái dương hệ, ngoài trái đất và mặt trời, c̣n nhiều hành tinh và biết bao nhiêu thiên thể khác.  

Năm 1890, Henri Poincaré trả lời câu hỏi bằng một mémoire dài 270 trang có tên Sur le Problème des Trois Corps et les Equations de la Dynamique. Ba vật thể ở đây là hai hành tinh và một hạt bụi vũ trụ, và ông đi kiếm lời giải tuần hoàn cho phương tŕnh chuyển động. Poincaré không trả lời trực tiếp được câu hỏi, nhưng ông vẫn được giải thưởng v́ tầm quan trọng của bài viết mà ta có thể tóm tắt như sau: 

Thiết lập nền móng cho việc khảo cứu một hiện tượng mà ngày nay ta gọi là hỗn độn (chaos);

Thiết lập một ngành toán mới gọi là tôpô (topology), một thứ h́nh học chú trọng đến tính chất bất biến của những dạng (shapes) dưới phép biến đổi thuận nghịch liên tục (reversible continuous transformations).  

Cuối thế kỷ thứ 19, cơ học Newton đă có một địa vị rất vững chắc trong mọi ngành khoa học; người ta tin rằng mọi hiện tượng tự nhiên đều tuân theo một quy luật nào đó, dù quy luật đó đă biết hay chưa biết. Bài toán ở đây cơ bản là một bài toán với giá trị lúc đầu (initial-value problem): giải bài toán, như đă nói ở trên, biết giá trị lúc đầu, ta có thể tính được giá trị bất cứ lúc nào trong tương lai và, tùy từng bài toán, ta có thể tính kiểm lại được cả quá khứ. Một thí dụ quen thuộc là sao chổi Halley: dựa theo quỹ đạo xác định bởi cơ học Newton, Halley kết luận là sao chổi hiện ra năm 1682 và sao chổi hiện ra ở những năm 1607 và 1531 chỉ là một, với chu kỳ cứ chừng mỗi 76 năm lại trở về gần trái đất; dựa trên căn bản này ông tiên đoán sao chổi sẽ hiện ra lại năm 1758. Halley qua đời năm 1742 nhưng nhân loại không quên. Người ta trông chờ; cuối cùng, đêm Giáng Sinh 1758, Palitzsch, một nhà thiên văn nghiệp dư tại Dresden, đă vui mừng nh́n thấy một vật lạ xuất hiện trong trời đêm: sao chổi Halley đă trở lại. 

V́ những hiện tượng vật lư mang tính chất tất định được xem gần như một tín điều, Poincaré không khỏi kinh ngạc khi thấy kết quả vô cùng phức tạp; với toán cổ điển như thường dùng để giải một bài toán với giá trị lúc đầu, giá trị cho lúc đầu cần phải có một độ chính xác vô tận, một điều bất khả. Ông viết trong cuốn sách dành cho đại chúng Science et Méthode (Khoa Học và Phương Pháp) những ḍng dưới đây vào năm 1903,  

“Nếu ta biết một cách chính xác định luật của thiên nhiên và trạng thái của vũ trụ vào một thời điểm nào đó gọi là lúc đầu, ta sẽ có thể tiên đoán một cách chính xác trạng thái của vũ trụ vào những lúc tiếp. Nhưng ngay trong trường hợp những định luật của thiên nhiên không c̣n là điều bí mật, ta cũng chỉ có thể biết một cách phỏng chừng trạng thái lúc đầu. Nếu trạng thái lúc đầu đó cho phép ta tiên đoán trạng thái tiếp sau với cùng một cách phỏng chừng, và đó là tất cả những điều ta muốn, ta nói hiện tượng đă được tiên đoán, được chi phối bởi định luật. Nhưng không phải bao giờ cũng được như vậy; điều có thể xẩy ra là sự khác biệt rất nhỏ trong điều kiện lúc đầu sẽ đem lại sự khác biệt rất lớn ở hiện tượng sau cùng. Một sai lầm nhỏ về điều kiện lúc đầu sẽ tạo nên một sai lầm cực lớn ở kết quả về sau. Tiên đoán trở nên điều không thể làm được, và ta có một hiện tượng ngẫu nhiên.” (Chữ viết nghiêng để nhấn mạnh ở trên do tôi thêm). 

Poincaré không tiếp tục giải bài toán bằng phương pháp cổ điển thông thường có tính cách định lượng (quantitative), đi t́m một công thức, mà thiết lập riêng một ngành h́nh học mới – tôpô – để khảo sát bài toán theo một phương pháp khác, thiên về tính cách định tính (qualitative – xin xem thêm phần con lắc ở dưới). Bài toán thuộc loại này ngày nay mang những tên như hỗn độn (chaos), hỗn độn tất định (deterministic chaos) hay động lực học hỗn độn (chaos dynamics) và hệ thống phương tŕnh vi phân liên kết thường không có tuyến tính, mang tên chung hệ động lực (dynamical systems). 

Tôi nghe nói, hồi đầu thế kỷ 20, một mốt được coi là rất chic, ít nhất cho tầng lớp trí thức của Paris, là ngồi trong công viên, nghiền ngẫm Bergson hay Poincaré. Ngày nay, đọc lại những câu như câu trích trong Science et Méthode ở trên vẫn c̣n thấy đầy một miệng, không rơ ngày ấy người ta đào sâu được đến đâu những ǵ ông viết? Ngay trong cuốn Men of Mathematics xuất bản năm 1937, E. T. Bell kể công tŕnh khảo cứu của Poincaré, có nói về tôpô nhưng tất nhiên không có hỗn độn. 

Bài toán vật lư lúc đầu đưa ta đến hỗn độn nhưng cũng đồng thời đưa đến một ngành toán mầu mỡ mới là tôpô; trong quá nửa thế kỷ, thế giới khoa học nỗ lực khảo cứu khía cạnh toán thuần túy của tôpô, hầu như quên hẳn nguồn gốc vật lư của nó, hiện tượng hỗn độn chỉ được gặp trong vài trường hợp lẻ tẻ.  

V. I. Arnold là một toán gia hàng đầu có ảnh hưởng rất lớn trong toán học đương đại (ông mới mất năm 2010); những nghiên cứu của ông có mặt trong nhiều lănh vực trong đó có dynamical systems. Theo Arnold, vật lư là khoa học thực nghiệm, một phần của khoa học tự nhiên, và toán là một phần của vật lư trong đó phần thực nghiệm ít tốn kém (cheap); xu hướng tách rời vật lư và toán đưa đến những hệ quả tai hại, nhiều thế hệ toán gia trưởng thành không hề biết đến nửa kia trong hiểu biết khoa học của họ. Phần ngược lại cũng đúng phần nào, v́ cần thiết, những người nghiên cứu vật lư phải biết ít nhiều về toán, tất nhiên có thiếu sót. 

Poincaré đă đi trước thời ông chừng bẩy mươi năm. Năm 1963 Edward Lorenz, một giáo sư khí tượng ở MIT, cho đăng trong một tập san về khí tượng một bài nghiên cứu về sự biến động của khí quyển, một mô h́nh giản dị về khí tượng mang tên Deterministic Nonperiodic Flow (Ḍng Chảy Tất Định Không Tuần Hoàn). Trong bài này, Lorenz giải một hệ thống phương tŕnh vi phân không tuyến tính với máy tính thô sơ của thập niên 1960 và cho bài giải in ra dưới dạng một đường biểu diễn.  

Một số đại lượng trong phương tŕnh liên quan đến khí tượng như áp lực, nhiệt độ... được cho một giá trị lúc đầu, tính giá trị của những đại lượng này, thí dụ, một giây sau đó rồi làm lại từ đầu, dùng kết quả này làm giá trị lúc đầu để tiếp tục tính tiếp. Để tiết kiệm th́ giờ, Lorenz bắt đầu ở nửa chừng, dùng con số đă in ra ở giữa lần chạy cũ làm số bắt đầu, nghĩ rằng bài giải sẽ lập lại nửa cuối đường biểu diễn cũ trước khi tiếp tục tính thêm những số mới. Sau khi cho máy chạy, Lorenz bỏ đi làm việc khác. Chừng một giờ sau, khi trở lại, ông ngạc nhiên thấy máy tính không lập lại nửa cuối của đường biểu diễn. Quan sát kỹ, ông thấy hai đường biểu diễn cũ và mới bắt đầu ở cùng một điểm nhưng rồi từ từ rẽ ra rất khác nhau, càng về sau th́ càng không giống ǵ nhau nữa. Lorenz suy nghiệm ra rằng tất cả là chỉ tại điều kiện lúc đầu: những con số giữ trong máy được giữ với sáu số thập phân, con số ông in ra chỉ có ba số thập phân và đó là con số ông đă dùng (thí dụ số giữ trong máy là 0.506127, số in trên giấy là 0.506 được Lorenz dùng cho lần chạy sau.) 

V́ đây là một nghiên cứu vật lư về khí tượng, kết luận hiển nhiên là có lẽ ta có thể tiên đoán thời tiết cho vài ngày tới nhưng khó mà tiên đoán nổi thời tiết cho tháng tới. Lorenz cho tính chất này một tên rất ấn tượng, the butterfly effect (tác dụng cánh bướm), ư nói một con bướm vẫy cánh ngày hôm nay ở Brazil có thể gây ra giông băo ở Texas trong tháng tới. Nếu t́nh cờ, ta thấy một đám đông mặc T-shirt có h́nh con bướm xanh đỏ in trước ngực đang đi biểu t́nh, khá chắc chắn đó là một cuộc biểu t́nh về môi sinh và h́nh con bướm chính là do sự tích này. Tác dụng cánh bướm đi liền với những bài toán không tuyến tính mang tính chất hỗn độn, đến với thế giới vật lư khá bất ngờ, nhưng v́ được in trong một tạp chí khí tượng nên nó c̣n phải ngủ yên thêm chừng mươi năm nữa. 

Ngày nay sách phổ thông viết về hỗn độn và những hiện tượng liên hệ đă được xuất bản khá nhiều. Năm 1987, cuốn Chaos, Making a New Science của James Glieck là cuốn sách đầu tiên ra đời, được đặc biệt ưa chuộng, trở thành bestseller trong nhiều tháng và có ảnh hưởng rất sâu rộng, hiện nay vẫn c̣n tái bản đều đều; lư thuyết hỗn độn đă thực sự đi vào năo trạng của quần chúng.  

o0o

Joseph Ford là một trong những nhà vật lư đầu tiên đă dùng máy tính để khảo sát cơ học không tuyến tính. Con lắc thường là đề tài ông dùng để chứng minh cho sinh viên sự phức tạp của hiện tượng gây nên bởi một giảm thiểu không tuyến tính có mặt trong phương tŕnh chuyển động. 

Ông có một hiểu biết thâm sâu về khảo cứu của giới khoa học Nga, đặc biệt là với tính ổn định động lực phát triển bởi Lyapunov. Mùa hè năm 1962, khi ông muốn tôi khảo sát về dao động điều ḥa, ông đă nh́n ra được một điều ǵ v́ ngay năm 1963 ông đă khám phá được một hiện tượng mới, đó là sự chuyển tiếp từ chuyển động b́nh thường sang một chuyển động mà sau này được gọi là động lực học hỗn độn. Vào buổi phôi thai này, có lẽ Joe Ford là người nhận thức được hơn mọi ai khác tiềm ẩn sâu sắc và quan trọng của hiện tượng (nhớ lại, cũng năm này, Edward Lorenz cho đăng bài nghiên cứu về sự biến động của khí quyển). Ông tiếp tục làm việc không ngừng, ở giai đoạn này, vật lư đối với ông đồng nghĩa với hỗn độn; chính ông đă thu thập, sao chép để thiết lập và phổ biến trích yếu Nonlinear Science Abstracts, sau cùng xây dựng cơ sở cho tạp chí chuyên đề đầu tiên về động lực học không tuyến tính, Physica D. Mùa hè năm 1977, Ford cùng một nhà vật lư người Ư Giulio Casati tổ chức cuộc hội thảo quốc tế đầu tiên về hỗn độn tại một biệt thự bên hồ Como miền bắc nước Ư, nơi đă chứng kiến nhiều buổi họp mặt quan trọng về khoa học trong dịp hè. 

Trở lại chuyện của tôi và con lắc; sau khi đă đọc xong Lyapunov và một số bài viết liên hệ khác, tôi bắt tay vào việc. V́ bài toán ở đây không có lời giải giải tích, tôi viết những phương tŕnh dưới dạng thích hợp cho việc tính toán; vấn đề bây giờ là sản xuất những con số, mà phải bằng máy tính. Đến đây tôi lúng túng v́ lẽ, đúng hay sai, tôi không mặn mà lắm với việc học vật lư qua máy tính. Đầu thập niên 1960, máy tính không user-friendly như ngày nay, nào là viết chương tŕnh rồi phải tự ḿnh cho máy chạy, rất phức tạp. Hơn nữa, ít khi tôi ngồi qua được một giờ học ngôn ngữ Algol cho máy tính mà không ngủ gật. Tôi tŕnh bầy những khó khăn của tôi với giáo sư Ford. Nh́n mặt Ford, trông có vẻ thất vọng nhưng ông không thúc ép mà cũng không khuyến khích; ngồi nói chuyện hồi lâu, ông hỏi tôi có ư định học về ǵ? Tôi buột miệng trả lời là tôi định tiếp tục học vật lư hạt nhân (nuclear physics).  

Qua ánh mắt như giễu cợt của Ford, tôi có thể nh́n thấy điều ông nghĩ: mấy tên thế giới thứ ba lúc nào cũng chỉ muốn làm “Bom”. Tôi muốn kêu to “Không phải như vậy!” Câu chuyện khác hẳn thế; tôi tưởng tượng với quang phổ (spectroscopy), ngồi dưới đất ta có thể biết được chuyện trên trời; ngày ấy, tôi thấy thật hấp dẫn, nên định tâm học ngón này. Vào cuối thập niên 1950, học vật lư lăng đăng ở Sài G̣n mà biết được như vậy, tuy muộn chừng 100 năm, nhưng cũng không hẳn là tệ; tôi vốn định nói với Ford “nuclear spectroscopy” nhưng với tiếng Anh của tôi hồi đó, phát âm chữ “spectroscopy” lắm vần quá nên kiếm chữ ngắn hơn. 

Điều trớ trêu là chỉ mấy năm sau đó tôi phải ngồi suốt đêm giải một bài toán bằng tay cho một bài viết, với sự trợ giúp của một máy tính cơ động trên bàn. Luôn luôn mắc lỗi, trong đêm khuya, máy chạy đi chạy lại lạch cạch kêu vang to khiến anh bạn đồng nghiệp buồng bên sốt ruột, chạy sang hỏi rồi ném cho cuốn ngôn ngữ Fortran. Từ đó tôi học biết dùng máy tính. 

“Ḿnh ḅ thực!” (Can điểu ma! Bạn tôi kể Lỗ Trí Thâm của Thủy Hử, trong lúc trèo lên núi, bụng đói, miệng khát, thân h́nh tiều tụy, đă buột miệng kêu). Ngồi nghĩ lại, đáng lẽ tôi phải tiếp tục làm việc với Ford, cố học dùng máy tính và làm ít nhất cho đến nơi đến chốn dự án của mùa hè năm ấy. Càng rơ nét hơn nữa, nhất là về sau này tôi biết thêm chính Ford cũng là người đi tiên phong khảo cứu liên hệ sâu sắc của hỗn độn tất định và phương tŕnh vi phân. Riêng bạn tôi chăm chỉ làm luận án tiến sĩ với Ford, hai tháng trước khi anh bảo vệ luận án, Hải quân Hoa Kỳ đến nhặt anh đi, cho việc làm ở một cơ sở nghiên cứu của hải quân ở Maryland; tôi không có dịp hỏi anh có job về động lực học không tuyến tính hay v́ tài dùng máy tính? Ngày ấy, chỉ riêng tài dùng máy tính ở tŕnh độ của anh cũng đủ để có job thơm. 

Năm 2000 tôi làm việc ở Indianapolis, Indiana; t́nh cờ đọc cuốn Chaos... của James Gleick, thấy nhắc đến những cố gắng của Joseph Ford nhiều lần, tôi gọi điện thoại đến Atlanta hỏi thăm, với ư định về thăm trường cùng các thầy học cũ, một việc tôi đă dự định từ nhiều năm, mới biết ông đă qua đời năm 1995 v́ ung thư. Rất bất ngờ v́ Ford là người khỏe mạnh, ưa chuộng thể thao và khi ấy ông mới 68 tuổi. Tôi vẫn có ư định, nếu có dịp, hỏi lại Ford về cái nh́n giễu cợt của ông khi hỏi tôi muốn học ǵ, vừa để chọc ông vừa muốn biết xem có đúng như tôi nghĩ hay không? Chắc rất vui v́ đúng hay sai, với Ford, tôi biết là ông sẽ cho tôi thêm một câu trả lời đích đáng! 

o0o 

Joseph Ford là một trong mấy ông thầy favorite của tôi ở đại học, ở trung học tôi có thầy Nguyễn Văn Hai và ở tiểu học, thầy giáo Công. Thầy giáo Công dậy tôi trong mấy vụ hè khi tôi 7, 8 tuổi. Nhờ thầy tôi có được thú đọc sách và ham thích khoa học, nhất là toán. Và có lẽ cũng chính thầy đă định hướng giùm tôi học toán ứng dụng như kiểu dùng trong vật lư: toán của thầy là cứ làm như thế, như thế... không nhất thiết phải biết tại sao, tại sao sẽ đến sau. Tôi đă kể chuyện thầy giáo Công trong bài Cỗi rễ bậc hai in ở đâu đó. 

Tôi học thầy Hai ở năm cuối cùng của trung học tại trường Quốc Học, Huế. Tôi “thích” ông ngay từ buổi học đầu tiên. Nguyên nhân đưa đến sự hấp dẫn này thường mơ hồ, có thể không có lư do hay cũng có thể chỉ v́ một cử chỉ nào đó; ở ông dáng vẻ tự tin, tính trẻ trung, đầy năng động là những điều ấn tượng. Tôi nhớ măi một buổi chiều nóng bức, ông họp mấy lớp đệ nhất lại làm một để trả bài toán. Tôi ngủ quên, đến muộn mấy phút, đang định đi vào chỗ ngồi th́ ông gọi lại, nói “cho về nghỉ một tuần để ngủ!” Tôi xin lỗi, ra về, bụng cười thầm có lẽ v́ tính trẻ nên ông thầy gồng một tí, nạt cho biết phép nhưng ḷng tôi thanh thản, không oán trách.  

Vào học chưa được bao lâu th́ đă đến kỳ thi lục cá nguyệt; bài thi ông cho là một bài tính concours général bên Pháp về h́nh học, khá dài gồm ba phần, mỗi phần gồm nhiều câu hỏi. H́nh học là món sở trường của tôi ở những lớp dưới, nhưng niên học này trong nhiều tuần lễ, tôi cứ lấn cấn măi, muốn hiểu lư do tại sao mấy định lư rất hiển nhiên về phép biến đổi được in trong sách (viz., phép quay là một phép rời h́nh). Hỏi bạn tôi, Vũ Đ́nh Minh (bác sĩ, nhà văn Mai Kim Ngọc tương lai), một trong những tṛ cưng của ông, anh gạt đi, “Hiển nhiên, thế mà cũng hỏi...” OK, hiển nhiên, nhưng điều đó không giúp tôi làm toán, vào thi sửa soạn của tôi quá tồi tệ. Sau này, thỉnh thoảng có dịp, tôi đă hỏi ít nhất là ba bạn cùng lớp, xem các bạn làm được mấy phần bài thi. Không ai cho tôi một câu trả lời rơ ràng; riêng tôi, tôi sẽ không nói đă làm được bao nhiêu câu, điều chắc chắn là bài thi của tôi không gây được chút ấn tượng nào trên thầy Hai.

Tất nhiên tôi không thể là thành phần của một thiểu số chọn lọc – tṛ cưng của ông; tôi nghe nói trong đám này có người vừa thi xong Tú tài I, trong vụ hè, đă ngồi học, cặm cụi giải hết những bài toán trong cuốn h́nh học của Tú tài II! Dẫu vậy, đối với tôi thầy Hai luôn luôn là ông thầy favorite. Nhiều năm về sau, nhân dậy một lớp toán về phương tŕnh vi phân, thấy bài giải của một bài toán có mấy chùm ṿng tṛn, tôi bèn nói về ư nghĩa h́nh học của bài giải. Chẳng mấy chốc thấy mắt của nhiều sinh viên mờ đục mất thần, tôi đă định ngừng nhưng v́ thấy một cô sinh viên ngồi bàn đầu vẫn tiếp tục chép chép ghi ghi, mặt trông ra vẻ rất thích thú, nên tôi tiếp tục. Hết giờ học, cô lên hỏi tôi mấy câu ǵ đó và cảm ơn đă gợi lại cho cô một thời của trung học. Th́ ra cô là con ông tham vụ văn hóa của ṭa đại sứ Pháp; cô và tôi, ở một dĩ văng gần xa nào đó, đă cùng sống những giây phút không quên của mát-tê-lem (math elem.) Thật vậy, chính khi vẽ mấy ṿng tṛn trên bảng, tôi đột nhiên nhớ đến thầy Hai và những buổi chiều nóng nực ngồi nghe ông giảng h́nh học, không ngủ gật, nên hứng chí giảng lại mẩu h́nh học trung học này. Duy có điều thứ h́nh học này rất xa lạ trong các trường trung học Bắc Mỹ nên trong một lớp cả trên trăm người mà chỉ có một thầy một tṛ thông hiểu nhau, tha hương ngộ cố tri !? 

Nói đến Quốc Học và thầy Hai, tôi không thể không nhắc đến bạn tôi, Cao Huy Thuần (CHT). Một trong những duyên dáng (và có lẽ cũng nguy hiểm) của Huế là Huế có một sinh hoạt đời sống thôn xóm, ở chỗ, như gió th́ thầm qua kẽ lá, tin tức to nhỏ lan truyền rất nhanh. Mới đến đất thần kinh, tôi chưa gặp CHT (anh và tôi học khác ban; CHT ban triết, tôi ban toán) nhưng tôi cũng đă biết tiếng anh là một trong những cao thủ của Quốc Học và đă được nghe các bạn kể chuyện CHT thi trượt vấn đáp Tú tài I khóa đầu và chỉ mới đỗ ở khóa hai. Chuyện này phản lại mọi lô-gic, bởi v́ câu hỏi có thể đặt ra không phải là CHT “có thi đỗ hay không” mà là “sẽ đỗ cao bao nhiêu? ” Vậy trượt như thế nào? Thưa rằng trượt vấn đáp về vật lư với thầy Hai.  

Hơn nửa thế kỷ sau, anh viết một bài vừa vui vừa uyên thâm, cũng hơi buồn nữa, có tên Điện là ǵ, kể lại kinh nghiệm khoa bảng của ḿnh. Tên bài viết là câu hỏi vấn đáp anh rút thăm được. Tôi không nghĩ chàng trai này “đi học nghe chim giảng” v́ một câu hỏi như vậy có thể làm nhiều người lúng túng; với một thí sinh ban sinh ngữ, vật lư học cho vui, mỗi tuần một giờ, vào thi vấn đáp hệ số 1, chỉ được 1/4 điểm, CHT vẫn thừa sức đỗ. CHT cố t́m câu trả lời vừa phải sao đó, nhưng đă bị thầy Hai trả lại thẻ thí sinh và như anh kể lại, “Có nghĩa là cái thằng tôi đă đi đời nhà ma.” Có lẽ đây là lần đầu tiên CHT được ăn trứng trong đời đi học, mà lại được ăn vào thời điểm quyết định nhất! Bây giờ nh́n lại, với kinh nghiệm của quá nửa đời người, chuyện thi trượt này quá b́nh thường, nó tuyệt đối không làm hại tiếng tăm của CHT; cùng lắm nó để lại vài cái sẹo nho nhỏ trên tấm thân khoa bảng ngọc ngà, như kiểu rỗ hoa, nên càng thêm đậm đà, bắt mắt.  

Có thể thầy Hai v́ chút cường điệu đă đánh trượt anh, cũng có thể ông để anh thi lại để cho anh đỗ cao. Cũng may là ban triết ít người nên dù đỗ khóa hai anh vẫn được vào lớp 1C1 (Đệ Nhất C1), nếu ở ban B anh sẽ vào lớp 1B2. Tuy không ai nói ra, trong văn hóa của ta, ngồi chiếu tiên chỉ vẫn có phần thoải mái hơn; có bạn sau này viết một bài dài, rất duyên dáng, tả lại đời sống “lầm than”, miệt mài suốt mấy năm dài trung học ở những lớp Bn (n > 1)! 

Năm 2007, tôi nghe Thanh Hà của đài RFI giới thiệu Chagrin d'Ecole, Nỗi buồn trường học, tác phẩm được giải Renaudot năm đó, kể lại câu chuyện của một cậu học tṛ dốt, của một ông vua zê-rô về môn chính tả... (có lần cậu ta được tới âm 38), tôi có cảm t́nh với cậu ta ngay. Renaudot là một trong những giải thưởng giá trị của văn học Pháp và ông vua zê-rô này là Daniel Pennac, tác giả và nhân vật chính của cuốn sách. Daniel Pennacchioni, tên thật của tác giả, dốt đến độ, một lần tuyệt vọng, đă viết thư xin mẹ cho thôi học để đi lính, nhưng có những may mắn khiến anh ta ở lại trường để rồi lớn lên, trở thành thầy giáo và một cây bút vững chắc của làng văn học Pháp. 

Năm 25 tuổi, Daniel Pennac học cũng xong và có được job đầu tiên, dậy Pháp văn! Ngày 30 tháng 9 năm 1969, anh nhận được bức thư đầu tiên của ông bố gửi cho đứa con nay đă nên người (au fils devenu, chữ viết nghiêng của tác giả), gửi đến trường nơi anh dậy mới được một tháng; bức thư nhẹ nhàng, giọng thư thân mật bố con tṛ chuyện, mà anh c̣n giữ đến tận bây giờ, 2007, một thầy giáo già đă nghỉ hưu: 

Măi đến ngày hôm nay, tôi mới chú ư đến một chi tiết nhỏ: trên phong b́, bố tôi đề tên người nhận là “Giáo sư Daniel Pennacchioni”. Tôi đă mất hơn nửa đời người để nghe thấy trong hai chữ giáo sư ấy tiếng gào thét âm thầm v́ vui sướng... 

Ce hurlement de joie... Nghe cô kể đến đây, ḷng tôi rộn lên, tôi quyết định sẽ xuống phố mua Nỗi buồn trường học về đọc cho đă. Có được sách, người đọc biết thêm một chi tiết vui vui: b́a ngoài sau cuốn sách là một trang học bạ của tác giả; môn Pháp văn, trung b́nh của cả lớp là 14,2 và của tác giả là 7, với lời phê của giáo sư: Elève gai, mais triste élève. Với một văn phong dí dỏm, cảm động tác giả mổ xẻ, phân tích nguyên nhân sự dốt nát cùng những phiêu lưu, những bài học thu nhận được của ḿnh trong mười năm đi học. Tôi muốn kể nhiều hơn nhưng dừng ở đây, đă đi quá xa sổ ghi thời đi học. 

Có một thời, tôi say mê Trịnh Công Sơn, cứ mỗi khi đặt bút viết hay mở miệng nói là y như rằng có một từ, một h́nh ảnh hay một cái ǵ đó mượn của họ Trịnh; rồi khi ông qua đời, mở mắt ra là thấy khắp mọi nơi người ta thi nhau nói thân phận, thân phận, thân phận... Thân phận choán ngộp, thân phận làm tôi ngạt thở; bản năng sinh tồn chỗi dậy, tôi muốn hét lên thực to, “Please stop!” Rồi cũng qua đi, ngồi yên lặng thở thật lâu, quả thực... thân phận, hay kiếp người, cả hai. Khoác cho CHT và Daniel Pennac cái áo thân phận hay kiếp người có lẽ không vừa, mầu không hợp, nhưng v́ hôm nay, mấy ḍng này viết đúng vào April Fools' Day, ngày Trịnh Công Sơn mất, mới đấy mà đă hơn mười năm, nên cứ để đây, thử xem. Cho điên một thể! 

Daniel Pennac sinh ra đời, như người ta thường nói, đă có sẵn chiếc th́a bằng bạc ở miệng, được nuôi dưỡng trong một môi trường điều kiện tối ưu, cả tinh thần lẫn vật chất (...Père polytechnicien, mère au foyer, pas de divorce,... nourriture saine, bibliothèque à la maison, culture ambiante conforme au milieu et à l'époque: peinture jusqu'aux impressionnistes, poésie jusqu'à Mallarmé, musique jusqu'à Debussy...), đời sống của đứa trẻ dường như đă được hoạch định sẵn, rồi ra chẳng polytechnicien th́ cũng normalien, nếu không có cái tai nạn học dốt khốn khổ kia, một tai nạn mà tác giả phải đeo đằng đẵng suốt thời niên thiếu.  

C̣n CHT th́ khác hẳn, anh ở đầu đường kính bên kia của tai nạn đó: 

          Đường mây rộng thênh thênh cử bộ.. 

Con đường hoạn lộ của anh thênh thênh rơ ràng, vậy mà cũng vẫn gặp tai nạn, để vấp ngă sứt trán một tị! Một thứ tai nạn khác; tai nạn bao giờ cũng bất ngờ và tai nạn của CHT th́ hoàn toàn bất ngờ. Nhưng giả dụ thầy Hai có hỏi anh muốn thầy cho 1/4 điểm để đỗ hay không th́ tôi ngờ rằng CHT sẽ xin thầy đánh trượt, bởi v́ với chọn lựa kia anh sẽ phải sống chung ḥa b́nh với một đám đông hỗn tạp, passable, trong đó có biết bao nhiêu lesser mortals tồn tại được là nhờ avec indulgence du jury (có một năm ở Đại học Khoa học Sài G̣n, tôi thấy kết quả thi, ở cột Mention, dưới những Passable, là một cọc Avec indulgence du jury, có lẽ cô thư kư văn pḥng này mới, v́ ngày hôm sau thấy tờ kết quả khác, tất cả được sửa thành Passable). Ngoài ra c̣n một lư do thực tế khác: có nhiều người, v́ một môn vấn đáp nào đó không khá lắm, đă bỏ để thi lại khóa sau; trường hợp này không hiếm, đỗ cao để tiện việc đi du học ngoại quốc. 

Sống suốt thời niên thiếu với một hiện tại mơ hồ và một ngày mai không lối thoát hay học giỏi nhất nh́ cả trường mà phải ngồi học ba tháng hè để thi lại vấn đáp tất nhiên để lại những vết thương; những vết thương đó liệu có bao giờ lành không? Mặc dù hơn nửa thế kỷ đă trôi qua, trong khoảnh khắc CHT thấy vết thương vẫn c̣n “tươi roi rói”, nhưng anh cũng rút tỉa được từ đó một bài học tích cực cho đời sống; nếu đó quả là một bất công cho anh, anh sẽ không để bất công đó xẩy ra cho người khác. Riêng tôi, tôi nghĩ vết thương nào th́ cũng lành v́ giản dị là, nếu không, ta sẽ không c̣n ngồi đây để mà than văn; trong trường hợp của tác giả Nỗi buồn trường học, nếu nghỉ học như thư ông viết cho mẹ, có lẽ ông đă biến mất aux colonies xa xăm nào đó - Algérie (?)  

Một đặc điểm rất tiêu biểu, chung cho chủ nhân của tất cả những vết thương này là họ đều là những người thành đạt, cao thấp khác nhau nhưng thành đạt. Thời gian trôi qua, vết thương tuy đă mờ nhạt, không c̣n đau đớn nhưng vẫn c̣n nổi cộm trong tâm thức, để đến một lúc đột nhiên những thôi thúc rất hữu cơ thúc giục chủ nhân của chúng mở ra xem lại, ngắm nghía như khách bàng quan, đánh bóng một tị, những thương đau ngày xưa như những ṿng tṛn dang dở nay được khép kín, nhẵn nhụi, tṛn trịa, viên măn. Như tác giả Nỗi buồn trường học trả lời phỏng vấn của đài RFI, nó cho phép tôi tính sổ với chính ḿnh... Có lẽ không định như vậy, nhưng tự nhiên có một huy hiệu danh dự - a badge of honor, thỉnh thoảng ta đeo trước ngực, cũng vui: 

          A vaincre sans péril... 

Thầy Hai không là một ông thầy ác độc; những học tṛ của ông, học hành chăm chỉ và không đến nỗi tệ, ai cũng đỗ cả; một bạn của tôi ở Bắc vào, thi với ông đỗ ngay khóa đầu: một học tṛ đứng đắn thi vấn đáp trượt hai lần có thể lỗi tại anh ta, trượt bốn lần lỗi là ở hệ thống, bạn tôi trượt vấn đáp Tú tài I ở Hà Nội sáu (6) lần! Thầy Hai không lầm v́ học tṛ của ông, những người đỗ đạt, người nào cũng tương đối thành công: giáo sư, bác sĩ, kỹ sư, nha sĩ...

 

Năm 2000 tôi sống ở Indianapolis, IN, cách Louisville, KY, nơi thầy Hai sống, chưa đầy hai trăm cây số; tôi gửi điện thư xin đến thăm thầy. Sau hai giờ lái xe, gặp cả thầy cô, thêm tuổi nhưng vẫn mạnh khỏe. Tôi sẽ không bao giờ quên ngày hôm đó, nói chuyện hơn nửa ngày vui vẻ. Thầy cô đưa tôi đi ăn ở một tiệm ăn thanh lịch, trên bờ sông Ohio. Sông Ohio khúc rộng nhất ở Louisville, sông mênh mông, thuyền bè đi lại trên sông tấp nập, thật hữu t́nh, tôi chợt nhớ vùng đất này cũng là xứ sở của Mark Twain, một tác giả mà tôi ưa thích với những nhân vật dễ thương Tom Sawyer và Huckleberry Finn. Chuyện thăm hụt Joseph Ford và chuyến viếng thăm này cho tôi thêm bài học: một việc, nếu đáng làm, không bao giờ nên tŕ hoăn. 

o0o

Trở lại câu chuyện c̣n dở ở phần trên, phương tŕnh chuyển động của con lắc được tuyến tính hóa bằng cách chỉ xét đến những dao động nhỏ, ta có thể giải phương tŕnh và được kết quả là chuyển động tuần hoàn như đă mong đợi, con lắc chạy đi chạy lại – hai chiều. 

Ian Stewart trong cuốn Does God Play Dice? kể một kịch vui của N. F. Simpson có tên là One Way Pendulum. Chắc hẳn Simpson thấy ư tưởng con lắc một chiều ngộ nghĩnh; ông ta muốn chơi chữ: nếu con lắc hai chiều chạy đi chạy lại – two (to) and fro – th́ con lắc một chiều tất nhiên phải chạy one and fro! Thế nhưng, trong trường hợp tổng quát, con lắc có thể chạy một chiều! Thí dụ cái lúc lắc trẻ con cầm tay quay quay hay chuyển động quay tṛn như cánh quạt tầu bay.  

Như trên đă nói, giải bài toán con lắc trong trường hợp tổng quát khá phức tạp. Trong phần này, ta sẽ không t́m cách giải phương tŕnh chuyển động, mà chỉ dùng h́nh học để khảo sát vật lư chuyển động của con lắc. Để cho mục đích này, ta vẽ một h́nh gọi là chân dung pha (phase portrait) của chuyển động. 

Muốn xác định chuyển động của con lắc, ta cần biết vị trí và vận tốc của nó. Gọi hai đại lượng này là x và v rồi vẽ hai trục thẳng góc x (ngang) và v (dọc) trên một tờ giấy đồ thị. Tưởng tượng con lắc bắt đầu chuyển động ở thời điểm lúc đầu to, ta ghi trị số của x và v ở thời điểm này, sau đó đo x và v ở mỗi phần trăm của một giây và đánh dấu bằng một dấu chấm cho mỗi cặp (x,v) trên đồ thị; ta sẽ được một chuỗi những dấu chấm sát gần nhau. Nối những dấu chấm ta được một đường cong gọi là quỹ đạo tương ứng với vị trí và vận tốc lúc đầu. 

Tương ứng với mỗi vị trí và vận tốc lúc đầu ta có một quỹ đạo. Với con lắc lư tưởng, dao động nhỏ, chạy đi chạy lại như trong đồng hồ quả lắc, quỹ đạo là những ṿng tṛn đồng tâm. Một điều rất quan trọng nên để ư là muốn có một chuyển động tuần hoàn, quỹ đạo phải là một đường cong kín bởi v́, nếu không, con lắc (hay bất cứ một hệ thống vật lư nào) sẽ không bao giờ trở lại được vị trí cũ với cùng một vận tốc, và như vậy, sẽ không có chuyển động tuần hoàn. 

Quỹ đạo của con lắc trong trường hợp tổng quát, cấu trúc cầu kỳ hơn, có thể có những đường cong không kín; tập hợp của những quỹ đạo này là chân dung pha như h́nh vẽ ở dưới:

 

Vẽ chân dung pha như tả ở trên quả thực không dễ; tuy nhiên, nếu có một laser để đo x và v, một máy tính để xử lư những số liệu và một máy vẽ đồ thị, ta có thể kiểm chứng thí nghiệm và vẽ quỹ đạo khá dễ dàng. Ian Stewart ước lượng, chừng 10 000 bảng Anh sẽ đủ để mua những dụng cụ này (giá cho khoảng năm 1989; đây là một món tiền khổng lồ, v́ lạm phát có lẽ tương đương với 40 000 bảng Anh ngày nay, và máy tính đáng giá 3 000 bảng Anh ngày ấy chưa chắc đă tốt bằng máy tính đáng giá 300 mua năm nay, 2012).  

Tốn quá! Thôi, ta làm Vật lư kiểu con nhà nghèo Vật lư lư thuyết! Chân dung pha như vẽ ở trên, cơ bản là diễn tả sự tương quan giữa vị trí x và vận tốc v. Mặt khác, ta biết một hệ quả toán học của định luật Newton là định luật bảo toàn năng lượng.  Năng lượng toàn phần E của con lắc trên cùng một quỹ đạo không thay đổi và bằng tổng số của động năng T (tỷ lệ với ½ v2 ) và thế năng V (tỷ lệ với sin x , sin x là một hàm số lượng giác và là một con số có trị số tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 1): 

E = T + V = hằng số trên một quỹ đạo nhất định,

Chọn đơn vị thích hợp cho các đại lượng liên quan đều bằng đơn vị (thí dụ khối lượng của con lắc); định luật bảo toàn năng lượng cho con lắc lư tưởng có thể viết: 

E = ½ v2 + sin x        =>         

v = ±[E' - 2 sin x ]               E' = 2 E

 Hệ thức trên chính là hệ thức diễn tả sự tương quan giữa vị trí x và vận tốc v mà ta muốn có. Mỗi trị số của E' tương ứng với một năng lượng toàn phần E của con lắc trên cùng một quỹ đạo, cho tiện việc ta gọi chung là E. V́ năng lượng E bao gồm cả vị trí x lẫn vận tốc v, thay v́ cho x và v một trị số lúc đầu, một cách tương đương, ta cho E một trị số lúc đầu. Với vài xu mua giấy vẽ đồ thị và một máy tính cầm tay chừng mươi đô, hệ thức cho phép ta vẽ chân dung pha ngon lành. 

E có thể có bất cứ trị số nào. Thí dụ cho E = 1, tính √(1 - 2 sin x) với nhiều trị số của x từ -180o đến +180o; với mỗi trị số của x, ghi trên đường thẳng đứng kẻ ở x hai điểm có độ cao  +√(1 - 2 sin x)  và  -√(1 - 2 sin x). Nối chuỗi điểm trên đồ thị, trong trường hợp này, ta sẽ được quỹ đạo một đường cong kín, h́nh bầu dục. 

Tất nhiên, nếu biểu thức (E - 2 sin x) là một số âm ta không tính được căn số. V́ vậy, nếu:  

E  <  -2       không có điểm nào (không có quỹ đạo),

     E  =  -2       quỹ đạo là một điểm,

-2 <  E  <  2          quỹ đạo là những h́nh bầu dục,

    E  =  2      h́nh bầu dục, hai mũi hơi nhọn ở hai đầu,

 E  >  2      quỹ đạo là hai đường cong riêng biệt,
một ở trên, một ở dưới.

 Đó là tất cả những quỹ đạo của một con lắc thật, không tuyến tính tương tự như h́nh vẽ ở trên. Với h́nh vẽ này, ta thử t́m hiểu chuyển động của con lắc trong trường hợp tổng quát.  

1. Trừ trường hợp 1 ở trên, không thể xảy ra, không có quỹ đạo; những trường hợp khác có thể được giải thích như sau: 

2. Điểm đơn độc ở giữa là quỹ đạo của con lắc đứng thẳng, không chuyển động (vị trí x và vận tốc v là những hằng số, v bằng 0 trong trường hợp này, v́ vậy, quỹ đạo là một điểm), trị số -2 là thế năng, năng lượng thấp nhất có thể có. Ở vị trí này, con lắc ở trạng thái cân bằng bền. Bền ở chỗ một khuấy động nhỏ sẽ khiến năng lượng toàn phần của nó tăng lên, tương ứng với một quỹ đạo h́nh bầu dục bên cạnh, nếu có sự ma sát con lắc dao động một lúc rồi trở về vị trí cũ.  

3. Những đường cong kín h́nh bầu dục là quỹ đạo của con lắc chạy hai chiều tích-tắc như trong đồng hồ. Tưởng tượng con lắc ở vị trí thấp nhất, đứng thẳng, x bằng 0, chạy về bên trái với vận tốc v là một số âm, v lớn dần, đến một lúc bằng 0, con lắc dừng lại, đổi chiều rơi xuống chạy về bên phải, v bây giờ là một số dương lớn dần, đến một lúc lớn nhất rồi bắt đầu nhỏ dần đi cho đến lúc bằng 0, lại rơi xuống đổi chiều... Cứ như thế, nếu không có sự ma sát, sẽ tiếp tục măi măi; vậy những đường cong kín h́nh bầu dục là quỹ đạo cho những chuyển động tuần hoàn. 

4. Một cuối tuần bố mẹ dẫn cô con gái ra công viên chơi. Cho cô bé ngồi trên cái đu, đẩy giúp cô một tị. Cô bé sung sướng tiếp tục nhún đu một ḿnh, đu nhún chạy càng ngày càng cao. Bố mẹ đứng nói chuyện, chợt nhớ đến con, bèn quay lại thấy cô con gái quư đang vui thích cười như nắc nẻ, đu đứng thẳng trên cao giữa trời. Tim ruột gan của bố mẹ thắt lại cùng một lúc, đu ngẫm nghĩ trong khoảnh khắc tưởng như dài vô tận rồi đổi chiều, rơi xuống lại...  

Hệ thống con lắc gồm cái đu và cô bé ở trên quỹ đạo có năng lượng toàn phần tương ứng với quỹ đạo h́nh bầu dục với mũi hơi nhọn ở hai đầu (h́nh bầu dục có hai chấm ở hai đầu). Tưởng tượng con lắc lúc đầu ở vị trí đứng thẳng (x = 0) chạy đến -180o, ở điểm này vận tốc của nó bằng zê-rô. Với vận tốc này, nó có thể cứ đứng yên ở đó, nhưng không, nó dừng lại trong giây lát, đổi chiều, và rơi xuống như một con lắc hai chiều chạy đi chạy lại. Đứng ở vị trí đó, một cơn gió nhẹ thổi giúp cũng đủ khiến nó tiếp tục chạy, và chuyển động bây giờ biến thành chuyển động cánh quạt. Vị trí này cũng tương ứng với một trạng thái cân bằng nhưng là một cân bằng không bền, ranh giới giữa con lắc hai chiều và con lắc một chiều. Cũng may không có gió và cô bé không nhún thêm để đu quay như chong chóng… 

5. Quỹ đạo cuối cùng là những đường cong không kín. Với quỹ đạo ở phía trên, x chạy từ -180o đến +180o, có nghĩa là hết cả một ṿng tṛn, v́ vận tốc v luôn luôn là một số dương, con lắc không ngừng chạy, hay đúng hơn, không ngừng quay đều cùng một chiều nếu năng lượng được giữ không thay đổi. Đây là trường hợp giống như cánh quạt hay cái lúc lắc. Nếu quỹ đạo là một đường cong không kín ở phía dưới, ta sẽ có một chuyển động tương tự nhưng ngược chiều. 

Như vậy, ta thấy chân dung pha chứa đựng chi tiết cho tất cả những ǵ con lắc có thể làm được và cho phép ta giải thích mọi hiện tượng của một con lắc tổng quát, tuyến tính hay không tuyến tính mà không hề giải phương tŕnh chuyển động.  

Ta c̣n có thể đi xa hơn thế nữa. Để ư trong trường hợp cuối cùng, quỹ đạo là những đường cong không kín. Mặt khác, ta nói đường cong không kín là quỹ đạo của chuyển động quay tṛn, mà ta biết chuyển động quay tṛn rơ ràng là tuần hoàn, vậy mâu thuẫn ở đâu? Lư do là v́ khi x chạy từ -180o đến +180o, có nghĩa là con lắc đă đi hết một ṿng tṛn và đă trở về vị trí cũ - cùng một điểm, v́ c̣n dư sức, nó tiếp tục chạy hoàn toàn không có vấn đề ǵ. Vấn đề là ở chỗ ta biểu thị một góc bằng một con số, nhưng góc sống trên một ṿng tṛn c̣n con số, trên một đường thẳng. Để có h́nh vẽ phẳng, ta làm như thể cắt ṿng tṛn ra rồi căng nó trên đường thẳng; ở chỗ cắt đánh dấu hai đầu là -180o và +180o (hay 0o và 360o cũng thế), do đó, trên h́nh vẽ, hai điểm -180o và +180o có vẻ rất xa nhau. Toán gia chuyên nghiệp sẽ nói là ṿng tṛn và đường thẳng có tô-pô khác nhau. 

Để nh́n chuyển động của con lắc dễ dàng hơn, đáng lẽ căng ṿng tṛn trên đường thẳng ta làm ngược lại, cuốn h́nh vẽ lại cho đoạn thẳng thành ṿng tṛn; làm như vậy, hai điểm -180o và +180o gặp lại nhau, hai cạnh h́nh vẽ trùng với nhau, hai đầu quỹ đạo những đường cong không kín cũng nối lại với nhau và ta sẽ được một mặt trụ tṛn trên đó tất cả những quỹ đạo nay đều trở thành những đường cong kín, như h́nh vẽ ở dưới:

 

Các toán gia có thể sẽ cho phương pháp khảo sát tô-pô này những tên fancy, khó hiểu và khó nhớ; riêng ở đây, ta thấy động lực của con lắc sống rất tự nhiên trên một mặt trụ tṛn và chuyển động tuần hoàn thực ra trông cũng rất tuần hoàn (tất cả những quỹ đạo đều là những đường cong kín).  

Mặt khác, chuyển động của con lắc có năng lượng lớn nhỏ khác nhau, chuyển động có năng lượng thấp nhất tương ứng với quỹ đạo là một điểm đơn độc, con lắc đứng yên; càng xa điểm này năng lượng càng lớn. Năng lượng càng lớn dao động càng lớn; khi năng lượng lớn hơn một giới hạn nào đó, dao động của con lắc trở thành chuyển động quay tṛn. H́nh vẽ ở trên không cho ta thấy những mức năng lượng đó. Để giải quyết vấn đề, ta uốn cong mặt trụ thành h́nh chữ U sao cho điểm quỹ đạo có năng lượng thấp nhất ở dưới cùng, chân dung pha của con lắc nay nằm trên mặt trụ chữ U như h́nh vẽ ở dưới:

 

H́nh vẽ cho thấy ngay chuyển động của con lắc cùng mức năng lượng tương ứng. Cho một mặt phẳng cắt ngang mặt trụ chữ U ở một mức năng lượng nào đó, ta được đường cong quỹ đạo diễn tả chuyển động: Nằm dưới đáy là một điểm đơn độc, quỹ đạo của con lắc đứng yên; trên đó là những quỹ đạo tương ứng với chuyển động tuần hoàn của con lắc thường thấy; trên cao hơn, với năng lượng cao đủ, ta có hai chuyển động (tuần hoàn) quay tṛn ở hai nhánh chữ U quay ngược chiều nhau. 

Khảo sát h́nh học đưa ta đến một kết luận vừa phải: chuyển động của con lắc, dù một hay hai chiều, luôn luôn là những chuyển động tuần hoàn. 

Cách khảo sát định tính ở trên cho ta thấy sức mạnh cùng sự thanh lịch của phương pháp, đặc biệt hữu ích khi ta không có thông tin nào từ lời giải giải tích. Và ngay cả khi có lời giải giải tích, sức mạnh của phương pháp cũng hiển nhiên như thí dụ sau: Nếu có một ma sát nhỏ, điều ǵ sẽ xẩy ra? Ta có thể t́m cách giải phương tŕnh chuyển động, nhưng trong nhiều trường hợp, không giải nổi phương tŕnh; riêng với con lắc, ta có thể t́m thử câu trả lời dùng hàm elliptic v.v. nhưng đó không phải là giải pháp giản dị nhất. Thử nh́n vào mức năng lượng trên mặt trụ chữ U, có ma sát nghĩa là mất một chút năng lượng, con lắc đang ở quỹ đạo trên sẽ đi xuống quỹ đạo dưới. Giả dụ con lắc có một năng lượng cao, quay tṛn nhanh, nhưng v́ ma sát, năng lượng mất dần nên nhẩy xuống những quỹ đạo dưới, con lắc vẫn quay tṛn nhưng chậm dần, đến một lúc năng lượng mất quá nhiều, chuyển động không c̣n là chuyển động quay tṛn nữa mà trở nên chuyển động con lắc b́nh thường, biên độ nhỏ dần rồi đứng lại, phù hợp với lẽ thường, như được diển tả bởi h́nh vẽ ở dưới:

 

Toàn lư luận “suông” nhưng rất được việc, ta vừa kiếm ra được hết vật lư của con lắc! 

Cuốn Ordinary Differential Equations (MIT Press, 1973), gồm những bài giảng của V. I. Arnold tại Đại học Moscow vào cuối thập niên 1960, là một cuốn sách hiếm quư ở chỗ những khái niệm đương đại tiềm ẩn, liên hệ tới phương tŕnh vi phân được giới thiệu ở tŕnh độ cơ bản của đại học. Nội dung những bài giảng ở đây hoàn toàn khác với những sách toán thường thấy có cùng tên, sách đầy những h́nh vẽ, nhấn mạnh khía cạnh h́nh học và khía cạnh định tính của hiện tượng được khảo sát. Như một ứng dụng của phương tŕnh vi phân trong cơ học, con lắc được dùng làm thí dụ ngay từ đầu để rồi sau đó hiệu lực của những khái niệm cùng phương pháp tŕnh bầy trong sách được đem ra thử nghiệm.

Classical Dynamics of Particles and Systems (2nd Ed., Academic Press, 1970) của Jerry B. Marion là một cuốn sách về Cơ học tương đối mới, có cả một chương về con lắc và Nonlinear Oscillations với nhiều chi tiết.

Chaos, Making a New Science (Penguin Books, 1987) của James Gleick và Does God Play Dice? (Penguin Books, 1990) của Ian Stewart là những cuốn sách phổ thông rất hay về Chaos; phần con lắc ở đây phỏng theo Ian Stewart.

 

 

 

 

 

NGUYỄN ĐỨC TƯỜNG

Gatineau 04/2012

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 



 
  www.ninh-hoa.com

Trang XUÂN 2017- Văn Học Nghệ Thuật Và Quê Hương