www.ninh-hoa.com



 

Trở về d_bb  ĐHKH

 

Trở về Trang Tác Giả

 

Hán Việt Dịch SLược 

Giáo Sư
Nguyễn Hữu Quang

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trở về Trang Tác Giả

 

Main Menu

 
 


HÁN VIỆT DỊCH S LƯỢC

GS Nguyễn Hữu Quang

Nguyên Giảng Viên Vật Lư Chuyên về Cơ Học Định Đề
(Axiomatic Mechanics, a branch of Theoretical Physics)
tại Đại Học Khoa Học Sài G̣n trước năm 1975

 

 

 

CHƯƠNG 05

 

DỊCH TIỀN ĐỀ

 

 

(Tiếp theo Kỳ 46)

 

5.1.4 Ư-nghiă H́nh-học

Dịch nói: "Thị cố Dịch hữu Thái-cực, thị sinh lưỡng-nghi, lưỡng-nghi sinh tứ-tượng, tứ-tượng sinh bát-quái 是故易有太極。是生兩儀。兩儀生四象。四象生八卦。= Cho nên Đạo Dịch có Thái-cực, rồi sinh ra hai nghi, hai nghi sinh bốn tượng, bốn tượng sinh tám quẻ." (Thượng-Hệ XI/5).

Trên nguyên-tắc đây là Định-đề của Dịch, nhưng nếu ta dùng h́nh-học ta có thể chứng-minh ngay rằng hai đường chéo AB và CD của h́nh vuông ngoại tiếp h́nh Thái-cực chia h́nh này thành Tứ-tượng diện-tích đều nhau; sau đó hai trục đối-xứng ngang WE và dọc NS của h́nh thái-cực sẽ chia h́nh này thành bát-quái. (Chú-ư : ở đây bốn phương Đông (E), Tây (W), Nam (S), Bắc (N) là theo truyền-thống đông-phương): Đông bên trái, Tây bên phải, Nam bên trên và Bắc bên dưới (H́nh 5.0). Thật vậy, ta có thể tự hỏi ba câu:

  1. Ṿng tṛn Thái-cưc và h́nh vành khăn giữa ṿng tṛn ngoại-tiếp h́nh vuông và ṿng tṛn Thái-cưc, h́nh nào có diện-tích lớn hơn?
  2. Trong h́nh Thái-cực, Chia đều "Thái-dương" (trắng) và "Thái-âm" (đen) thành hai cặp h́nh tương-tự bằng một đường thẳng duy-nhất.
  3. Chia tư phần dương và phần âm thành hai cặp h́nh thù khác nhau, bằng một đường cong duy-nhất.

 


 

H́nh 5.0

 

V́ diện-tích h́nh tṛn bán-kính R là S = p R2 nên diện-tích h́nh tṛn "Thái-cực" bán-kính gấp đôi là 4 p R2 = 4S. Gọi s là diện-tích một h́nh bán-nguyệt bán-kính R/2: 4S = 8s.

Bài Giải

  1. Hai h́nh có cùng diện-tích. Trong H́nh 5.1, ta có thể cắt hai h́nh vuông bằng nhau A và B theo đường chéo để có 4 tam-giác vuông bằng nhau, hợp thành một h́nh vuông mới có cùng diện-tích. Thành thử ra diện-tích mọi h́nh vuông bằng phân nửa diện-tích h́nh vuông có cạnh bằng đường chéo cuả nó (Theo định-lư Pythagoras: d = a  S = d2 = 2 a2). So sánh H́nh 5.2 với H́nh 5.1 ta sẽ thấy rằng h́nh vuông có cạnh bằng CD sẽ lớn gấp hai lần h́nh vuông có cạnh CE. Do đó, ṿng tṛn lớn sẽ to gấp đôi ṿng tṛn nhỏ (ṿng tṛn Thái-cực). Diện-tích h́nh vành khăn sở-quan sẽ là hiệu-số cuả cuả diện-tích cuả hai ṿng tṛn này. Q.E.D.
  2. Bốn độc-giả cuả tạp-chí Khoa-học Scientific American là A. E. Decae, F. J. Hooven, Charle W. Trigg và B. H. Willoughby có gửi cho toán-gia Martin Gardner  phụ trách mục "Mathematical Games" cuả Scientific American lời giải giản-dị sau đây:

Trong H́nh 5.5, vẽ một đường kính nằm ngang cuả ṿng tṛn nhỏ K. H́nh bán-nguyệt nằm dưới đường kính này sẽ có diện-tích bằng 1/8 diện-tích S cuả ṿng tṛn lớn. Bên trên đường kính ngang là một h́nh cánh quạt nghiêng 450 cuả ṿng tṛn lớn giới-hạn bởi đường kính ngang cuả ṿng tṛn nhỏ và đường chéo), h́nh cánh quạt này cũng có diện-tích là S/8. Cộng chung lại, h́nh bán-nguyệt và h́nh cánh quạt có diện-tích chung bằng 2 x S/8 = S/4, cho nên đường chéo nghiễm nhiên chia đôi đều phần âm và phần dương. Qúi độc-giả hiếu-kỳ có thể tham khảo bài toán cuả Dudeney trong sách Amusements in Mathematics (5B) và bài "Bissection of Yin and of Yang" cuả Trigg trong Mathematics Magazine, Vol. 34, No. 2, November-December 1960, pages 107-108.

     Chứng-minh cuả Dudeney hơi khác: trong H́nh 5.3, ông dùng phương-thức cắt  xén rồi trập các h́nh riêng lẻ lên nhau. Trong h́nh này, các đoạn thẳng chấm-chấm (dotterd lines) là cốt để hiển-thị lối chứng-minh. Ông đă cắt h́nh Thái-cực bằng hai đường cong giống hệt gồm hai hai bán-nguyệt ráp nối vào nhau và có bề lơm đối-hướng.

H́nh 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 và 5.5

  1. Dudeney cắt H́nh 5.2 bằng đoạn thẳng CD và muốn chứng tỏ là mảng F thực-sự bằng cuả ṿng tṛn "Thái-cực". Điều đó ông thực-hiện trong H́nh 5.4. Ṿng tṛn K bằng phần tư cuả ṿng tṛn "Thái-cực" bởi v́ đường kính bằng phân nửa. Trong H́nh 5.3 ta cũng biết rằng L có din-tích bằng S/4. Ta bèn thấy ngay là G bằng H. Do đó cái ǵ F mất cho L, nó bèn lấy lại cuả K và F phải bằng phân nửa cuả cả "Thái-dương" (phần trắng) lẫn "Thái-âm" (phần đen). Q. E. D.
     

5.1.5 Ư-nghiă Động-học (Kinematic)


5.1.5.1 Toán-đề Ṿng tṛn Thái-cực

 

Ta có thể đặt toán-dề này dưới hai dạng: 1/ Động-học hoặc 2/ H́nh-học.

1/ Động-học: Hai đầu mút A’, B’ cuả một thanh Thái-cực A’B’, chiều dài d, được gắn liền bằng hai sợi dây luôn luôn căng-thẳng AA’, BB’ có cùng chiều dài R, vào hai đầu mút A, B cuả một thanh cố-định AB, chiều dài là d, di-động trên hai ṿng tṛn (A, R) và (B, R) (H́nh 5.14). T́m quỹ-tích cuả trung-điểm M cuả A’B’, khi thanh này xoay quanh AB theo chiều kim đồng-hồ hay chiều lượng-giác.

Đây là một môt bài toán về chuyển-động cuả một mặt phẳng trên một mặt phẳng trong đông-học.

           H́nh 5.14                                     H́nh 5.15

2/ H́nh-học: Xét một tứ-giác AA’B’B (H́nh 5.15) mà các cặp cạnh đối nhau lần lượt có chiều dài là R và d. T́m quỹ-tích trung-điểm M cuả A’B’ khi tứ-giác biến-dạng (H́nh 5.15).
 

5.1.5.2 Bài giải Lượng-giác 

Đây là Bài giải không tiền khoáng hậu và độc-đáo mà GS Đặng-Hồng-Tiệm đă có nhă-ư gửi cho.

                      

H́nh 5.16

              

   

 

        


         (9) là phương-tŕnh cuả ṿng tṛn Thái-cực khi AA’ và BB’ quay cùng chiều, và phương-tŕnh (10) là qũy-tích cuả M khi chúng quay ngược chiều.

Thật vậy, với hai điểm A và B cách khoảng d, xét hai h́nh tṛn C (A, R) and C’ (B, R) với vi tâm A (-d/2, 0) và B (d/2, 0). Khi A và B trượt trên C and C’, ta được hai chuyển-động tách biệt cuả một mặt phẳng trên một mặt phẳng, tùy theo chiều chuyển-động cuả A và B trên C và C’: chuyển-động thuần nhất khi cả hai điểm A và B quay cùng chiều và chuyển-động tạp-nhạp khi chúng quay khác chiều. 

Ta có t́m lại trực-tiếp được kết-quả cuả phương-tŕnh (9). Thật vậy, xét một thanh, chiều dài cố-định R, có một đầu ở B, đầu kia bắt buộc phải ở C hay D (H́nh 5.17), C và D là giao-điểm của ṿng tṛn (A’, R) và ṿng tṛn có tâm (B, d = AA’).


 H́nh 5.17                     H́nh 5.18                  H́nh 5.19

Tuỳ theo lúc khởi đầu, nếu thanh sở-quan ở vị trí BC th́ khi chuyển động, lúc nào nó cũng phải song song với chính nó v́ thanh BC có chiều dài không đổi. Do đó, quỹ-tích của trung điểm M sẽ là ṿng tṛn màu cam như h́nh dưới đây (H́nh 5.18). Ṿng tṛn màu cam là biến đổi của ṿng (A, R) trong một phép tịnh-tiến mà vectơ tịnh-tiến bằng ½  .

Tương tự, nếu thanh sở-quan ở vị trí đầu BD (H́nh 5.19), th́ khi chuyển động, lúc nào nó cũng phải song song với chính nó. Do đó, quỹ-tích của trung điểm M sẽ là ṿng tṛn màu xanh lá cây như h́nh trên đây. Ṿng tṛn màu xanh lá cây là biến-đổi của ṿng (A, R) qua phép tịnh-tiến có vectơ tịnh-tiến bằng ½

Cảm-tạ GS Quách Anh-Hoà đă đề ra lối giải gọn-gàng và độc-đáo này.
 

5.1.5.3 Biện-luận các Trường-hợp Đặc-biệt
 

5.1.5.3.1 Đường Biểu-diễn 

H́nh 5.21

Ṿng tṛn (B, d) cắt trục hoành Ox tại điểm K (H́nh 5.21). V́ (cung GH) = 1200, nghiă là (cung AG) = (cung AH) = 600, nên tam-giác GHK là một tam-giác đều. Do đó điểm B vừa là trọng-tâm vừa là trực-tâm (orthocenter) cuả tam-giác GHK. V́ tứ-giác ABCD là một h́nh vuông nên (cung AE) = 450

5.1.5.4 Một Bài Giải Khác 

Trân-trọng cảm-tạ GS Trần Cao Tần đă góp ư cho bài giải này.

Trong h́nh 5.22, tất cả các góc α, β, γ, δ  tại O đều có trị-số đại-số. Toạ-độ độc-cực cuả P là r và γ. MM’ và NN’ song song với trục x. Ta có hai điểm A(d/2, 0) và B(-d/2, 0), hai ṿng tṛn (A, R) và (B, R), M trên ṿng (A, R) và N trên ṿng (B, R). P là trung-điểm chung cuả MN và M’N’. Vẽ OM’//=AM và ON’//=BN. Ta thấy P là trung-điểm chung cuả MN và M’N’. Gọi ­(Ox, OM’) = α, ­(Ox, ON’) = β, ­(Ox, OP) = γ. V́ tam-giác OM’N’ đỉnh ở O cân, nên α + β = 2γ .

Ta có toạ-độ cuả  M, N là: M[Rcosα, Rsinα], N[Rcosβ, Rsinβ] .

 

H́nh 5.22

 

Toạ-độ cuả trung-điểm P cuả MN là:

 x = R (cosα + cosβ)/2 = R cos(α - β)/2 + cos(α + β)/2
 y = R
(cosα - cosβ)/2 = R cos(α - β)/2 + sin(α + β)/2

Suy ra: x2 + y2 = R2 cos2(α - β)/2      (1)

Điều-kiện MN = d = AB khai-triển ra theo các công-thức lượng-giác sẽ cho ta:

                    R sin (α - β)/2 = dsin γ     (2)

Ta cũng có thể t́m ra kết-quả này từ tam-giác cân OM’N’ với góc ở đỉnh bằng α - β

                   (cosα - cosβ)(2d + R (cosα - cosβ))

Thay (2) vào (1) ta sẽ được phương-tŕnh độc-cực cuả P:

                       r2 = R2 - d2sin2 γ                

Đường Biểu-diễn 

Điều-kiện để có quỹ-tích thật là:

 R2 - d2sin2 c ≥ 0 

Trường-hợp A: d ≤ R Khi d = 0, 2 ṿng trùng nhau và quỹ-tích là ṿng (O, R). Khi d > 0, 2 ṿng tách rời nhau, th́ ṿng tṛn quỹ-tích (O, R) dẹt lại tại hai đầu trên và dưới, trong khi chiều dài vẫn là 2R.

Khi d R th́ hai phần dẹt phiá trên và phiá dưới eo lại thành h́nh vô-cực (hoành-bát) nhưng ở giữa chỉ là cái eo: quỹ-tích là hai h́nh trái soan đi-xng qua trục tung và tiếp-xúc nhau tại O. Khi d= R eo này teo lại thành điểm O. 

Trường-hợp B: d > R Quỹ-tích bây giờ là một h́nh  với góc ở gốc là 2c = 2 arcsinR/d.  Khi d = , phương-tŕnh quỹ-tích trở thành r = R cos 2c: đó là một lemniscate thực-thụ cuả sách giáo-khoa.

Trong H́nh 5.23, Đầu mút A’ cuả thanh A’B’ trượt trên ṿng (A, R) theo chiều kim đồng-hồ trong khi đầu mút B’ cuả thanh này lại trượt trên ṿng (B, R) theo chiều lượng-giác. Trong H́nh 5.9, A là tiêu-điểm trái (tả-tiêu) cuả lemniscate, c̣n B là tiêu-điểm phải (hữu-tiêu) cuả lemniscate và G, H, I là tâm cuả ba ṿng tả-tiêu (G, R), ṿng thái-cực (H, R) và ṿng hữu-tiêu (I, R).

 

H́nh 5.23 

H́nh 5.24 là một h́nh minh-hoạ phép nghịch-đảo giữa lemniscate và hyperbole cân, với hằng số bằng R. Phân-giác cuả hai trục toạ-độ chính là hai trục tiệm-cận cuả h́nh hyperbole này. Ngoài ra, lemniscate tiếp-tuyến với hyberbole tại 2 đỉnh chung. 

Khi d tiến dần đến vô-cực th́ góc ở tâm 0 và h́nh  dẹp lép lại thành đoạn thẳng 2R trên trục hoành. 

Trong phép nghịch-đảo (inversion) tâm 0 (H́nh 5.20), tỷ-lệ k (Op.Op’ = k), lemniscate là biến-h́nh cuả hyperbola cân (equiangular hyperbola) [cân v́ hai bán-trục dài bằng nhau], có phương-tŕnh độc-cực là:

Ta có thể dùng tích-phân (integrale) để tính diện-tích A cuả lemniscate:A= α2 .

Lạ một điều là ta thấy vắng mặt số π.


H́nh 5.24

C̣n chiều dài cuả nó là một tích phân h́nh thuẫn (elliptic integrale):

     Khi d tiến dần đến vô-cực th́ góc ở tâm 0 và h́nh  dẹp lép lại thành đoạn thẳng 2R trên trục hoành. 
 

5.1.5.5 Toàn-Đẳng (Congruence) Ṿng Tṛn Thái-Cực 

Cảm-tạ GS Đàm Quang Hưng đă phát kiến ra toàn-đẳng ngoạn-mục này. 

              Ở mỗi thế-hệ, ta có bộ ba: ṿng thái-cực, ṿng tả-tiêu và ṿng hữu-tiêu (H́nh 5.21). Trong H́nh 5.22, nếu ta xét h́nh vuông lớn BDNL nội-tiếp trong ṿng thái-cực, hai đường chéo cuả nó chính là hai tiếp-tuyến với lemniscate tại gốc toạ-độ H. Đặt A’B’ = B’C’ = c.

             Trên cao, lemniscate tiếp-xúc với đường thẳng B’D’ tại hai điểm

H́nh 5.25

Thoạt kỳ thủy, ṿng thái-cực sinh ra hai ṿng lưỡng-nghi mà ta đă gọi là ṿng tả-tiêu và ṿng hữu-tiêu. Mỗi ṿng lưỡng-nghi này sẽ trở thành ṿng thái-cực nhị-thể đồng khởi tịnh-tiến sang trái và sang phải, kèm theo ṿng tả-tiêu và hữu-tiêu liên-hệ: bây giờ ta đă có 4 ṿng tứ tượng nhị-thế. Vô h́nh trung, ṿng thái-cực nguyên-thủy cứ sinh sinh tả-hữu liên tu bất-tận để tạo thành một chuỗi ṿng vô thủy vô chung tuyến-tính dọc theo chiều dài cuả trục hoành. Đó là toàn-đẳng ṿng thái-cực có cùng kích-thước kéo dài ra tận âm-vô-cực và dương-vô-cực.

 H́nh 5.26 

Nếu bây giờ tâm các ṿng tṛn cuả toàn-đẳng không cùng nằm trên trục hoành mà lại nằm trên môt đường cong nào đó, th́ ta sẽ có tập-hợp các ṿng tṛn toàn-đẳng có tâm trên khúc-tuyến (set of congruent circles curvilinearly centered).

 

   

 

    Xem Kỳ 48

 

 

 

 

GS Nguyễn Hu Quang
Nguyên Giảng Viên Vật Lư Chuyên về Cơ Học Định Đề
(Axiomatic Mechanics, a branch of Theoretical Physics)
tại Đại Học Khoa Học Sài G̣n trước năm 1975

 

  

 

 

www.ninh-hoa.com