Mục Lục

  Trang Bìa
      Ban Biên Tập
  Chúc Tết
      Đồng Hương
  Lá Thư Xuân
      Hải Lộc
  Sớ Táo Quân Tổng Kết 10
      Năm
      Nguyễn Thị Thanh Trí
      Nguyễn Đôn Huế Trang
  Câu Đối Mừng Xuân
      Lê Bá Thiên
  Câu Đối Tết
      Nguyễn Hữu Quang

Hình Ảnh
Xuân

  Hình Ảnh Xuân
      Sử Xương Hải

Chùm
Thơ Xuân
 

  Phút Chạnh Lòng...
      Việt Hải Los Angeles
  Ngày Xuân
      Bến Nhớ Chiều Xuân
      Nguyễn Tường Hoài
 Thiêu Thiếu...
      Dương Công Khánh
  Mừng Xuân
      Hoàng Công Khiêm
  Tin Xuân - Đặc San
      Tin Xuân - Nguyện Cầu
      Đinh Thị Lan
  Nhớ Xuân
      Xuân Đã Về
       Lý Hổ
  Tin Xuân
      Xuân Nguyện
      Phan Phước Huy
  Tin Xuân
      Lê Văn Ngô
  Vui Xuân
      Hoàng Phi
  Anh Đã Đến, Mùa Xuân
      Bích Phượng
  Tin Xuân
      Phi Ròm (Hoàng Tiên)
  Dòng Thơ Xuân Tiếp Nối
      Nguyễn Thị Thí

Năm Mới
Ôn Chuyện Cũ

  Những Mùa Xuân Đã Qua
      Nguyễn Thị Phương Hiền
  Ký Ức Xóm Rượu Với Nghề
      Làm Bánh Tráng
      Nguyễn Xuân Hoàng
  Nắng Xuân
      Nguyễn Thị Lộc
  Mồng 3 Mồng 5 Tết Tân Mão
      Lê Văn Phan
  Chào Năm Cũ Mừng Năm
      Mới...
      Phi Ròm
 

Tử Vi
 

  Tử Vi Năm Quý Tỵ 2013
       Phạm Kế Viêm
  Vận Hạn Năm Quý Tỵ 2013
       Cho Những Người Tuổi Rắn
       Phạm Kế Viêm

Chuyện Vui
Xem/Đọc
3 Ngày Tết
 

  Ai Ơi Có Biết?
       Loan Anh
  Câu Đố Vui
      Trần Duy Biên
  Vài Chuyện Vui
       Lan Hương
  Năm Mới Nói Chuyện Già Trẻ
      Nguyễn Hiền
  Sớ Táo Phong
       Phạm Thanh Phong
  Những Câu Đố Vui
      Trần Như Phương

Hội Ngộ
Ninh Hòa-Dục Mỹ
 

  Buổi Họp Mặt Thân Hữu
      Đầu Tiên
       Nguyễn Thị Yến
 

Cắm Hoa Trang Trí

  Nghệ Thuật Cắm Hoa
       Lê Thị Lộc

Tranh
Nghệ Thuật

  Tranh Ảnh Nghệ Thuật
       Phi Ròm

Thơ Vui
 

  Rắn
      Tú Trinh

XUÂN Ca Hát

  Nhạc Xuân Và Quê Hương
      Lan Hương, Lan Đinh,  Lý Hổ
  "Áo Lụa Hà Đông"
      Mai Hữu Thọ


 

Tôn Giáo

  Tiếng Chuông...Tiếng Đời
       Đinh Thị Lan

Năm TỴ Nói Chuyện RẮN
 

  Xuân QuýTỵ Kể Chuyện Rắn
       Nguyễn Chức
  Rắn Qua Tín Ngưỡng, Văn
       Hóa, Đời Sống
       Vinh Hồ
  Đầu Xuân Tản Mạn Về Rắn
       Vinh Hồ
  Tản Mạn Tết Năm Quý Tỵ
       Nguyễn Văn Thành
  Độc Trị Độc
       Thi Thi

d_bb
Đ.H.K.H
 

  Liêu Trai Chí Dị-459
      Đàm Quang Hưng
  Thanh Phong Thi Tập-150
      Vũ Tiến Phái
  Nam Tông Và Bắc Tông
       Nguyễn Văn Phú
  Tính Biến Cải Và Tạp Chủng
      Trong Văn Học Hậu Bắc
      Thuộc
       Lê Phụng
  Câu Đối Tết
      Nguyễn Hữu Quang
  Dịch Vi Ngôn
      Nguyễn Hữu Quang
  Từ Sổ Ghi Thời Đi Học
       Nguyễn Đức Tường
  Tử Vi Năm Quý Tỵ 2013
       Phạm Kế Viêm
  Vận Hạn Năm Quý Tỵ 2013
       Cho Những Người Tuổi Rắn
       Phạm Kế Viêm
 

Văn Hóa
Ẩm Thực

  Bún Cá Xóm Cồn
      Quách Giao
  Mâm Cỗ Ngày Tết Của
      Người Dân 3 Miền
      Hoàng Bích Hà
  Hủ Tiếu Nam Vang:
      Khô Và Nước
      Lan Hương
  Hủ Tiếu Khô
      Diệp Lan Mai
  Tết Đến Xuân Về Nói
      Chuyện Rượu
      Võ Hoàng Nam
  Mẹ Với Bánh Chưng BánhTét
      Võ Hoàng Nam
  Thịt Kho Tiêu Và Rau Muống
      Thấu
      Nguyễn Thị Thục

Sức Khỏe

      

  Bệnh Cườm Nước (Glaucoma)
      BS Lê Ánh
  Bệnh Mắt Cườm (Cataract)
      BS Lê Ánh

Biên Khảo
Kinh Tế
 

Việt Nam

  Tổng Kết Nền Kinh Tế
       Việt Nam Năm 2012
       Nguyễn Văn Thành

Hoa Kỳ/Thế Giới

  Tổng Kết Nền Kinh Tế
       Mỹ Quốc Năm 2012
       Nguyễn Văn Thành
 

Kinh Nghiệm Sống

  Lịch Sự Và Tế Nhị
      Hoàng Bích Hà
  Nhật Ký Đời Thường Của Tôi
      Mai Tuyết Hồng
  YÊU
      Phù Vĩnh Sơn

Viết về
Ninh Hòa
Dục Mỹ
 

  Chút Tình XUÂN Cố Hương
      NGH(NH) Nguyễn Văn Hòa
  Dục Mỹ Trong Tôi
      Phan Phước Huy

 

Viết về
ninh-hoa.com

  Mùa Xuân Đến Với
      Ninh-HòaDOTCom
      Trâm Anh
  Kỷ Niệm 10 Năm Trang Mạng
      Cho Ninh-HòaDotCom
      Nguyễn Xuân Hoàng
  Mười Năm Tình Xuân
      Lý Hổ
  Vui Xuân Đón Tết
      Thi Thi
  Ninh-HòaDOTCom, Ở Đó...
      Nguyễn Thị Thanh Trí



 

 Kỷ Niệm Về
Trường:

Trần Bình Trọng
Ninh Hòa

  Một Kỷ Niệm Khó Quên
      Trần Hà Thanh
  Tôn Sư Trọng Đạo
      Trần Hà Thanh
  Vũ Khúc Vọng Cố Đô
      Trần Hà Thanh
 

Dục Mỹ

  Viết Về Ký Ức Và Kỷ Niệm
      Thuở Xa Xưa
      Nguyễn Thị Đông
  Kỷ Niệm Khó Quên
      Phan Phước Huy

Vạn Ninh

  Mứt Dừa  Một Thủa
      Ngọc Anh
  Bút Xuân
      Lam Kha
  Mùa Xuân  Di-Lặc
      Nguyên Kim
  Xuân Quý Tỵ 2013
      Nguyên Kim
  Chú Tiểu Bất Đắc Dĩ
      Hồ Thoại Mỹ
  Chiếc Bóng Bên Trời
      Trương Văn Nghi
  Đón Tết
      Lâm Ngọc
  Luyến Tiếc
      Lâm Ngọc
  Đầu Xuân Viết Thư Cho Con
      Đặng Tuyết Như
  Chuyện Tình Đêm Mồng 1Tết
      Hồng Sương
  Vịnh Xuân
      Lâm Thảo
  Chúc Xuân
      Thi Thi
  Như Một Áng Mây
      Thúy Vũ
 

Thể Thao
Du Lịch

  Đội Banh Ninh Hòa
      Lý Hổ
  Những Điều Lý Thú Về Đảo
      Quốc Sư Tử
      Hoàng Thị Lan
  Tôi Đi Dự Hội THAO
      Lương Lệ Bích San

Văn Học
Nghệ Thuật
 

  Bước Chân Người Nhớ 
      Thương Tôi..
      Lương Lệ Huyền Chiêu
  Rồng Việt Nam
      Liên Khôi Chương
  Haiku:  Về Ở Núi
      Mục Đồng
  Hai Mươi Tám Tết
      Bạch Liên
  Nơi  Bắt Đầu Mùa Xuân
      Nguyễn Thị Khánh Minh
  Cao Bá Quát Với Hoa Mai
      Võ Hoàng Nam
  Con Rắn
      Topa Panning
  Hương Tình Xuân Chín
      Bích Phượng
  Ánh Mắt Mùa Xuân
      Nguyễn Văn Sâm
  BẮC HÀNH TẠP LỤC: Bài 5  
      Lạng Thành Đạo Trung
      Dương Anh Sơn
  Thơ Xuân
      Quách Tấn
  Thơ Xuân Nguyễn Bính
      Trí Bửu Nguyễn Thừa
  Điệp Khúc Mùa Xuân
      Tiểu Vũ Vi

Thơ
 

  Chào Xuân Viễn Xứ
      Bích Phượng
  Hương Sắc Mùa Xuân
      Bích Phượng
  Hương Xưa
      Trần Ngọc Chánh
  Tròn Giấc Mơ Xuân
      Trần Thị Chất
  Xuân Này Em Không Về
      Lương Lệ Huyền Chiêu
  Chúc Tết - Được Lời
      Liên Khôi Chương
  Đánh Thức Nàng Xuân
      Nguyễn Tường Hoài
  Mừng Xuân Quý Tỵ
      Song  Hồ
  Đời Rắn
      Vinh Hồ
  Mùa Xuân
      Mai Thị Hưng Hồng
  Sinh Nhật Mai Hồng
      Mừng Sinh Nhật Cháu My
      Mai Tuyết Hồng
  Xuân
      Trà Kim Huy
  Mừng Xuân Quý Tỵ
      Hoàng Lan
  Tiếng Sáo Đêm Xuân
      Kiều Lam
  Xuân Quý Tỵ 2013
      Bạch Liên
  Sắc Mai
      Nhất Chi Mai
  Duyên Thơ
      Thụy Nguyên
  Mộng Ngày Xuân- Xuân Đến
      Lê Văn Phan
  Xuân Nhớ
      Nguyễn Hoàng Phi
  Công Và Bướm
      Nguyễn Quân
  Vẫn Đợi Chờ Mùa Xuân Đến
      Dương Anh Sơn
  Xé Ngang Cuộc Tình
      Phù Vĩnh Sơn
  Thế Cho Nên...
      Kim Thành
  Tình Xuân
      Hoài Thu
  Duyên Dáng Mùa Xuân
      Tiểu Vũ Vi


 

Văn

  Mùa Xuân Về Trên Làng Quê
      Yên Bình
      Vân Anh
  Mùa Lại Về! Xuân Ơi...
       Lê Thị Mỹ Châu
  Xuân Như Ý
       Lê Thị Đào
  Tiếng Cười Đoàn Viên
      Khuất Đẩu
  Sắc Bàng Đầu Xuân
      Quách Giao
  Chia Xẻ Mùa Xuân
      Lê Thị Ngọc Hà
  Giọng Khổ
      Nguyễn Hiền
  Nhớ Gì Về Xuân
      Lý Hổ
  Xuân Yên Bình
      Bạch Liên
  Nắng Xuân
      Nguyễn Thị Ngọc Lan
  Lần Theo Mộng Ảo Mà Về...
      Nguyễn Thị Khánh Minh
  Vẫn Là Những Mùa Xuân
       Buồn
      Topa Panning
  Chuyến Xe Đêm Trừ Tịch
      Trần Như Phương
  Như Núi Đá Có Từng Lớp...
      Nguyễn Văn Sâm
  Mái Ấm Gia Đình
      Trần Đình Nguyên Soái
  Về Ninh Hòa, Ăn Bánh Ướt
       Bà Năm
       Nguyễn Hữu Tài
  Tết Này Mẹ Không Về
      Hà Thị Thu Thủy
  Gặp Lại Người Xưa
      Lê Thị Kim Thoa
  Một Thoáng Ninh Hòa
      Phạm Thị Thục
  Những Người Thích Đùa
      Bùi Thanh Xuân

 

Thư từ, bài vở, hình ảnh hoặc
ý kiến xây dựng, xin liên lạc:



diem27thuy@yahoo.com

Adelphia Cable Internet

 

Để tưởng niệm Tôn Thất Quỳnh Tiêu^★

 

Một buổi sáng mùa Thu năm 1996, tôi nhận được một phong thư đến từ Dallas, TX; bên trong là một bức thư ngắn, bắt đầu bằng, “Moa là Quỳnh Tiêu, học cùng lớp với bạn hơn 40 năm về trước; bạn còn nhớ moa không...” Anh viết tiếp là đang lập lại danh sách Lớp Khải Định 48-55 (KĐ 48-55) và mời viết bài cho một tập san dự định xuất bản hàng năm, mang tên Tập san 48-55 Khải Định.

 

Thành viên của KĐ 48-55 là những người vào lớp đệ thất trường Trung Học Khải Định (sau đổi thành trường Quốc Học) năm 1948, ra trường (không nhất thiết) năm 1955 và bất cứ ai rơi vào cùng lớp trong những năm đó dù chỉ một, hai năm. Năm 1948, chạy giặc, lớp học của tôi thường là một ngôi đình hay ngôi chùa nào đó trong vùng châu thổ sông Thái Bình; do đó tôi không thể là một thành viên blue blood của KĐ 48-55 mà chỉ thuộc vào loại “bất cứ ai”. Sau khi đỗ Tú tài I ở Nguyễn Trãi, Hà Nội, tôi “nhẩy dù” vào học đúng năm cuối cùng của trung học ở Khải Định, rồi phân tán, thành ra bạn bè trung học của tôi dường như chẳng có ai. Vì vậy, nhận được thư của Quỳnh Tiêu, sau một phút ngỡ ngàng, tôi mừng vô hạn, moa còn nhớ bạn lắm chứ, mặt tròn tròn, tính tình hiền lành, ít nói, con người khiêm tốn, đôn hậu, rất dễ thương... Trong hơn 40 năm, tôi sống gần như incognito, bạn đã mất công kiếm ra tôi, mang lại cho tôi bạn bè cũ, cho tôi một chỗ để bám víu, để đi về. Tự nhiên tôi có thêm một gia đình thật lớn suốt mười mấy năm nay; tất nhiên tôi phải là một thành viên của KĐ 48-55, rất catholic, có khi còn catholic hơn cả ông Pope. Cảm ơn Quỳnh Tiêu.

 

Còn việc viết bài cho Tập san 48-55 Khải Định? Trước kia tôi có viết chút đỉnh, nhưng đã lâu lắm, tôi ít nói tiếng Việt, đọc tiếng Việt còn ít hơn, viết gì bây giờ đây? Ghi lại chuyện buồn vui của đời học trò và kinh nghiệm của cuộc sống, nhưng phải có chữ đã chứ! Không sao, miễn là ta có lòng. Những ngày đầu, đó là những coọc-vê dài dài, những câu tiếng Việt lổn nhổn đầy tiếng Anh, chờ được tra tự vị. Đôi khi, trong đầu lóe ra một từ Việt hay hay, vội vàng ghi xuống cuối trang, cho khỏi quên, để rồi khi có dịp sẽ làm một câu với từ đó. Đôi khi dịch từ tiếng Anh sang tiếng Việt, tôi rất thích và rất hãnh diện đã dùng một cụm từ với hình ảnh mà tôi nghĩ tiếng Việt chưa ai dùng: để chỉ một trạng thái bàng hoàng như trong, “... bàng hoàng, hắn không biết là mình đang đi vào hay đi ra.” (... he doesn't know whether he is coming or going.) Cứ như thế, tôi viết cho Tập san Khải Định và các tạp chí khác. Một lần, có người giới thiệu “nhà văn...”, “who, me?” một phản ứng tự động khiến tôi đưa mắt nhìn xem có ai đứng sau lưng không? Cảm ơn Quỳnh Tiêu.

 

Được ngồi chung chiếu với đám KĐ 48-55 này là một vinh dự lớn. Họ là những người con ưu tú của đất nước, như Quỳnh Tiêu đây, học xong ở Khải Định, anh tiếp tục học ở trường Đại Học Kiến Trúc Sài Gòn. Hiện nay dấu ấn của anh hãy còn tồn tại ở nhiều nơi trong nước, như bệnh viện Nguyễn Văn Học (Gia Định) hay Viện Đại Học (Huế); Quỳnh Tiêu là một trong những kiến trúc sư chính thiết kế đồ án.

 

Tập san 48-55 Khải Định ra đời đến nay đã được 16 tập, mỗi tập năm, bẩy trăm trang. Nhìn dẫy Tập San đứng cạnh nhau trên kệ sách, một cố gắng tập thể rất đáng kể, ta không thể quên Quỳnh Tiêu, anh cũng đã làm chủ biên của Tập San số 3 và số 11. Danh sách KĐ 48-55 có chưa đầy 500 tên; mười mấy năm nay, số tên tất nhiên không thay đổi nhưng dấu hoa thị (*) đánh dấu những người đã vĩnh viễn ra đi mỗi ngày một nhiều. Tập San số 17 sẽ được xuất bản trong mùa hè năm nay, không biết KĐ 48-55 sẽ còn đủ sức, đủ nhân lực để xuất bản được bao nhiêu số nữa?

 

Hôm qua, nhận được điện thư báo tin Quỳnh Tiêu cũng đã ra đi, tôi sửng sốt, bàng hoàng trong một phút, không biết mình đang đi vào hay đi ra. Quỳnh Tiêu thân mến, tôi mãi mãi nhớ bạn và đã để bên cạnh tên bạn một ngôi sao.

 

*

Khóa học mùa Xuân năm 1962 tôi học xong Master về Vật lý, đồng thời trong kỳ học này tôi cũng qua được kỳ thi tổng hợp (comprehensive exam) bắt buộc phải qua trước khi tiếp tục học cao hơn. Mùa hè này sẽ không có chuyện đi chơi. Tôi không phàn nàn. Mùa hè năm trước, tôi đã đi dọc ngang, lang thang khắp lục địa Hoa Kỳ; sau hơn hai tháng, lết về được đến “nhà”, mừng quá, thấy cái gì cũng thân thương, kể cả cái lò sưởi chạy bằng nước nóng, mùa đông cứ nhè nửa đêm kêu ping ping, giật cả mình. Một vụ hè ở nhà làm việc, cũng hay thôi.

 

Sau kỳ thi tổng hợp, bạn cùng lớp ngồi kể chuyện vui, kháo nhau về mấy vị giáo sư, hay nghe các giáo sư cố vấn học trình nói về chuyên ngành của các giáo sư này nọ cho sinh viên liệu đường chọn lựa. Có lẽ chẳng cần lắm vì ai cũng gần như đã có chủ đích. Riêng tôi vừa học xong lớp Cơ học Thống kê mà tôi rất thích, tôi bèn tìm gặp giáo sư Joseph Ford vì chuyên ngành của ông là môn này, xin học một lớp đề tài đặc biệt (Special Topic), thử thời vận. Thử thời vận vì tôi hãy còn phân vân trong việc chọn ngành; đến từ Sài Gòn mới được hơn một năm, tôi thấy môn nào cũng hấp dẫn, những lớp một thầy một trò này thường để sửa soạn và tìm hiểu, có thể dẫn đến luận án tiến sĩ.

 

Joe Ford dáng người cao lớn, điển trai, rất thể thao (thú tiêu khiển của ông là đua lái thuyền buồm), tính tình hòa nhã vui vẻ. Ông khá tiêu biểu cho lớp giáo sư Hoa Kỳ, trẻ hay già, không stuffy, có một kho chuyện cười phong phú, một câu khôi hài sẵn trên môi. Và cũng thích đùa; thí dụ một lần, nhân chuyện gì đó, ông chỉ người bạn to lớn nhưng hiền như bụt đứng gần bên, nói “Thằng này dữ, cẩn thận, nó có thể thụi mày bất cứ lúc nào!” (This guy is mean, careful, he can slug you anytime!) Tôi thấy thoải mái với ông ngay từ đầu. Tôi nói muốn xin ông cho tôi theo học trong vụ hè. Sau vài phút trao đổi, ông tìm trong đống sách, lấy đưa một tập in roneo mỏng gồm ít bài giảng của Lyapunov và bảo đọc cẩn thận. Lyapunov (1857-1918) là một nhà toán-vật lý học quan trọng; những bài giảng của ông được dịch từ tiếng Nga ra nhiều thứ tiếng, định lý giới hạn ở tâm (central limit theorem) của ông là một trong những định lý trụ cột trong các sách về xác suất. Ford nói qua về Lyapunov rồi đề nghị trong vụ hè tôi khảo sát sự phân chia năng lượng (energy sharing) của một hệ thống gồm nhiều dao động tử liên kết cùng với một bạn người Mỹ khác.

 

Dao động tử điều hòa, tiếng Anh là harmonic oscillator, nghe thì sang nhưng có thể được hình dung cụ thể bằng một cái lò-xo hay con lắc. Dẫu vậy, ta chẳng nên cười thân phận thấp hèn của nó vì thứ dao động tuần hoàn này là một chuyển động cơ bản trong thiên nhiên, có mặt khắp mọi nơi. Sidney Coleman, cố giáo sư rất được kính mến của Đại học Harvard, có nói: “Sự nghiệp của một nhà vật lý lý thuyết trẻ gồm cố tìm hiểu dao động tử điều hòa ở trình độ trừu tượng càng ngày càng gia tăng” (“The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.”)

 

Ta đã học về con lắc từ thời còn ở trung học. Đây là một thứ con lắc lý tưởng, được giản dị hóa đến tối đa cho tiện việc khảo cứu: con lắc gồm một thanh cứng, có khối lượng zêrô, một đầu được gắn chặt một vật nặng, đầu kia có thể chuyển động quanh một trục không có sự ma sát; trong điều kiện này, con lắc có thể được xem như chuyển động trong một mặt phẳng thẳng đứng, sức cản của không khí không đáng kể. Việc còn lại là áp dụng định luật Newton, viết rồi giải phương trình chuyển động cho con lắc.

 

Nói chung, phương trình chuyển động là một (hay nhiều) phương trình vi phân diễn tả sự tiến triển với thời gian của một hiện tượng tự nhiên. Điều này ám chỉ một sự việc quan trọng là tính chất tất định (deterministic): nếu ta giải được phương trình vi phân, biết trạng thái lúc đầu của hiện tượng ta có thể tiên đoán được những trạng thái tương lai và, tùy trường hợp, có khi kiểm chứng lại được cả quá khứ. Nhưng viết phương trình là một chuyện, giải được phương trình là một chuyện khác. Những phương trình viết được cho hiện tượng tự nhiên thường thuộc loại không tuyến tính (non-linear) mà toán cổ điển, cho đến giữa thế kỷ thứ 20, chỉ chú trọng giải những phương trình tuyến tính. Mỗi khi gặp bài toán không tuyến tính, người ta tìm cách tuyến tính hóa nó để giải. (Với một phương trình vi phân tuyến tính, phối hợp hai lời giải ta vẫn được một lời giải; thật ra, vô số lời giải. Trong sách giáo khoa ta thấy hầu hết là phương trình vi phân tuyến tính và những bài toán có thể giải được.)

 

Trong trường hợp con lắc, lời giải của bài toán liên hệ tới hàm elliptic, không dễ kiếm trong những sách toán cơ bản; bài toán được tuyến tính hóa bằng cách chỉ xét đến những dao động nhỏ (con lắc chạy không xa quá vị trí cân bằng thẳng đứng, vì vậy hạn chế giá trị của lời giải), do đó có thể giải được dễ dàng và kết quả là chuyển động tuần hoàn như mong đợi. Đó là con lắc ta học ở trung học, chạy đi chạy lại – hai chiều, ta có thể tính được chu kỳ của nó.

 

Đầu thế kỷ thứ 20, tính chất tất định và không tuyến tính bắt đầu trở nên những thử thách; không tuyến tính đặc biệt là bà con rất gần với một hiện tượng mới mang tên hỗn độn và sự khảo sát phương trình vi phân, ngoài phần khảo sát định lượng (lời giải dưới hình thức một công thức) nay còn thêm phần khảo sát định tính (giải thích hiện tượng). Để giữ sự liên tục, phần phụ chú ở cuối bài sẽ nói thêm về con lắc, thử khảo sát tính chất (định tính) của con lắc trong trường hợp tổng quát mà không hề giải phương trình chuyển động.

 

*

Câu chuyện bắt đầu năm 1887, nhân ngày sinh nhật 60 tuổi, vua Oscar II của Thụy Điển treo giải thưởng 2500 crowns cho toán gia nào có thể trả lời được một câu hỏi cơ bản về thiên văn; câu hỏi khá dài nhưng tinh thần có thể được tóm tắt, “Thái dương hệ có ổn định không?” Nhân loại bận rộn kiếm sống, làm giầu, lo việc chiến tranh v.v. làm sao có người có thì giờ bận tâm đến chuyện trên trời này; vì vậy, thật là một viễn tượng hãi hùng nếu một hôm thức dậy ta không còn thấy mặt trời vì trái đất đã chui xuống một cái rãnh nào trong vũ trụ. Ta sống đã quen, xuân qua, hạ đến, bốn mùa tuần hoàn không bao giờ thay đổi; việc trái đất biến đi hay rơi xuống rãnh, nếu xảy ra chỉ có thể xảy ra một lần. Việc đó đã không xảy ra năm ngoái, năm kia chắc sẽ không xảy ra sang năm. Tuy nhiên, cuối thế kỷ thứ 19, đây là một câu hỏi thực tế, quan trọng vì tuy cơ học Newton có thể giải được bài toán gồm hai vật thể, chứng minh được trái đất chuyển động quanh mặt trời theo một quỹ đạo bền (ổn định), tuần hoàn; thế nhưng thái dương hệ, ngoài trái đất và mặt trời, còn nhiều hành tinh và biết bao nhiêu thiên thể khác.

 

Năm 1890, Henri Poincaré trả lời câu hỏi bằng một mémoire dài 270 trang có tên Sur le Problème des Trois Corps et les Equations de la Dynamique. Ba vật thể ở đây là hai hành tinh và một hạt bụi vũ trụ, và ông đi kiếm lời giải tuần hoàn cho phương trình chuyển động. Poincaré không trả lời trực tiếp được câu hỏi, nhưng ông vẫn được giải thưởng vì tầm quan trọng của bài viết mà ta có thể tóm tắt như sau:

 

1.  Thiết lập nền móng cho việc khảo cứu một hiện tượng mà ngày nay ta gọi là hỗn độn (chaos);

2.  Thiết lập một ngành toán mới gọi là tôpô (topology), một thứ hình học chú trọng đến tính chất bất biến của những dạng (shapes) dưới phép biến đổi thuận nghịch liên tục (reversible continuous transformations).

 

Cuối thế kỷ thứ 19, cơ học Newton đã có một địa vị rất vững chắc trong mọi ngành khoa học; người ta tin rằng mọi hiện tượng tự nhiên đều tuân theo một quy luật nào đó, dù quy luật đó đã biết hay chưa biết. Bài toán ở đây cơ bản là một bài toán với giá trị lúc đầu (initial-value problem): giải bài toán, như đã nói ở trên, biết giá trị lúc đầu, ta có thể tính được giá trị bất cứ lúc nào trong tương lai và, tùy từng bài toán, ta có thể tính kiểm lại được cả quá khứ. Một thí dụ quen thuộc là sao chổi Halley: dựa theo quỹ đạo xác định bởi cơ học Newton, Halley kết luận là sao chổi hiện ra năm 1682 và sao chổi hiện ra ở những năm 1607 và 1531 chỉ là một, với chu kỳ cứ chừng mỗi 76 năm lại trở về gần trái đất; dựa trên căn bản này ông tiên đoán sao chổi sẽ hiện ra lại năm 1758. Halley qua đời năm 1742 nhưng nhân loại không quên. Người ta trông chờ; cuối cùng, đêm Giáng Sinh 1758, Palitzsch, một nhà thiên văn nghiệp dư tại Dresden, đã vui mừng nhìn thấy một vật lạ xuất hiện trong trời đêm: sao chổi Halley đã trở lại.

 

Vì những hiện tượng vật lý mang tính chất tất định được xem gần như một tín điều, Poincaré không khỏi kinh ngạc khi thấy kết quả vô cùng phức tạp; với toán cổ điển như thường dùng để giải một bài toán với giá trị lúc đầu, giá trị cho lúc đầu cần phải có một độ chính xác vô tận, một điều bất khả. Ông viết trong cuốn sách dành cho đại chúng Science et Méthode (Khoa Học và Phương Pháp) những dòng dưới đây vào năm 1903,

 

“Nếu ta biết một cách chính xác định luật của thiên nhiên và trạng thái của vũ trụ vào một thời điểm nào đó gọi là lúc đầu, ta sẽ có thể tiên đoán một cách chính xác trạng thái của vũ trụ vào những lúc tiếp. Nhưng ngay trong trường hợp những định luật của thiên nhiên không còn là điều bí mật, ta cũng chỉ có thể biết một cách phỏng chừng trạng thái lúc đầu. Nếu trạng thái lúc đầu đó cho phép ta tiên đoán trạng thái tiếp sau với cùng một cách phỏng chừng, và đó là tất cả những điều ta muốn, ta nói hiện tượng đã được tiên đoán, được chi phối bởi định luật. Nhưng không phải bao giờ cũng được như vậy; điều có thể xẩy ra là sự khác biệt rất nhỏ trong điều kiện lúc đầu sẽ đem lại sự khác biệt rất lớn ở hiện tượng sau cùng. Một sai lầm nhỏ về điều kiện lúc đầu sẽ tạo nên một sai lầm cực lớn ở kết quả về sau. Tiên đoán trở nên điều không thể làm được, và ta có một hiện tượng ngẫu nhiên.” (Chữ viết nghiêng để nhấn mạnh ở trên do tôi thêm).

 

Poincaré không tiếp tục giải bài toán bằng phương pháp cổ điển thông thường có tính cách định lượng (quantitative), đi tìm một công thức, mà thiết lập riêng một ngành hình học mới – tôpô – để khảo sát bài toán theo một phương pháp khác, thiên về tính cách định tính (qualitative – xin xem thêm phần con lắc ở dưới). Bài toán thuộc loại này ngày nay mang những tên như hỗn độn (chaos), hỗn độn tất định (deterministic chaos) hay động lực học hỗn độn (chaos dynamics) và hệ thống phương trình vi phân liên kết thường không có tuyến tính, mang tên chung hệ động lực (dynamical systems).

 

Tôi nghe nói, hồi đầu thế kỷ 20, một mốt được coi là rất chic, ít nhất cho tầng lớp trí thức của Paris, là ngồi trong công viên, nghiền ngẫm Bergson hay Poincaré. Ngày nay, đọc lại những câu như câu trích trong Science et Méthode ở trên vẫn còn thấy đầy một miệng, không rõ ngày ấy người ta đào sâu được đến đâu những gì ông viết? Ngay trong cuốn Men of Mathematics xuất bản năm 1937, E. T. Bell kể công trình khảo cứu của Poincaré, có nói về tôpô nhưng tất nhiên không có hỗn độn.

 

Bài toán vật lý lúc đầu đưa ta đến hỗn độn nhưng cũng đồng thời đưa đến một ngành toán mầu mỡ mới là tôpô; trong quá nửa thế kỷ, thế giới khoa học nỗ lực khảo cứu khía cạnh toán thuần túy của tôpô, hầu như quên hẳn nguồn gốc vật lý của nó, hiện tượng hỗn độn chỉ được gặp trong vài trường hợp lẻ tẻ.

 

V. I. Arnold là một toán gia hàng đầu có ảnh hưởng rất lớn trong toán học đương đại (ông mới mất năm 2010); những nghiên cứu của ông có mặt trong nhiều lãnh vực trong đó có dynamical systems. Theo Arnold, vật lý là khoa học thực nghiệm, một phần của khoa học tự nhiên, và toán là một phần của vật lý trong đó phần thực nghiệm ít tốn kém (cheap); xu hướng tách rời vật lý và toán đưa đến những hệ quả tai hại, nhiều thế hệ toán gia trưởng thành không hề biết đến nửa kia trong hiểu biết khoa học của họ. Phần ngược lại cũng đúng phần nào, vì cần thiết, những người nghiên cứu vật lý phải biết ít nhiều về toán, tất nhiên có thiếu sót.

 

Poincaré đã đi trước thời ông chừng bẩy mươi năm. Năm 1963 Edward Lorenz, một giáo sư khí tượng ở MIT, cho đăng trong một tập san về khí tượng một bài nghiên cứu về sự biến động của khí quyển, một mô hình giản dị về khí tượng mang tên Deterministic Nonperiodic Flow (Dòng Chảy Tất Định Không Tuần Hoàn). Trong bài này, Lorenz giải một hệ thống phương trình vi phân không tuyến tính với máy tính thô sơ của thập niên 1960 và cho bài giải in ra dưới dạng một đường biểu diễn.

 

Một số đại lượng trong phương trình liên quan đến khí tượng như áp lực, nhiệt độ... được cho một giá trị lúc đầu, tính giá trị của những đại lượng này, thí dụ, một giây sau đó rồi làm lại từ đầu, dùng kết quả này làm giá trị lúc đầu để tiếp tục tính tiếp. Để tiết kiệm thì giờ, Lorenz bắt đầu ở nửa chừng, dùng con số đã in ra ở giữa lần chạy cũ làm số bắt đầu, nghĩ rằng bài giải sẽ lập lại nửa cuối đường biểu diễn cũ trước khi tiếp tục tính thêm những số mới. Sau khi cho máy chạy, Lorenz bỏ đi làm việc khác. Chừng một giờ sau, khi trở lại, ông ngạc nhiên thấy máy tính không lập lại nửa cuối của đường biểu diễn. Quan sát kỹ, ông thấy hai đường biểu diễn cũ và mới bắt đầu ở cùng một điểm nhưng rồi từ từ rẽ ra rất khác nhau, càng về sau thì càng không giống gì nhau nữa. Lorenz suy nghiệm ra rằng tất cả là chỉ tại điều kiện lúc đầu: những con số giữ trong máy được giữ với sáu số thập phân, con số ông in ra chỉ có ba số thập phân và đó là con số ông đã dùng (thí dụ số giữ trong máy là 0.506127, số in trên giấy là 0.506 được Lorenz dùng cho lần chạy sau.)

 

Vì đây là một nghiên cứu vật lý về khí tượng, kết luận hiển nhiên là có lẽ ta có thể tiên đoán thời tiết cho vài ngày tới nhưng khó mà tiên đoán nổi thời tiết cho tháng tới. Lorenz cho tính chất này một tên gây nhiều ấn tượng là the butterfly effect (tác dụng cánh bướm), ý nói một con bướm vẫy cánh ngày hôm nay ở Brazil có thể gây ra giông bão ở Texas trong tháng tới. Nếu tình cờ, ta thấy một đám đông mặc t-shirt có hình con bướm xanh đỏ in trước ngực đang đi biểu tình, khá chắc chắn đó là một cuộc biểu tình về môi sinh và hình con bướm chính là do sự tích này. Tác dụng cánh bướm đi liền với những bài toán không tuyến tính mang tính chất hỗn độn, đến với thế giới vật lý khá bất ngờ, nhưng vì được in trong một tạp chí khí tượng nên nó còn phải ngủ yên thêm chừng mươi năm nữa.

 

Ngày nay sách phổ thông viết về hỗn độn và những hiện tượng liên hệ đã được xuất bản khá nhiều. Năm 1987, cuốn Chaos, Making a New Science của James Glieck là cuốn sách đầu tiên ra đời, được đặc biệt ưa chuộng, trở thành bestseller trong nhiều tháng và có ảnh hưởng rất sâu rộng, hiện nay vẫn còn tái bản đều đều; lý thuyết hỗn độn đã thực sự đi vào não trạng của quần chúng.

 

*

 Joseph Ford là một trong những nhà vật lý đầu tiên đã dùng máy tính để khảo sát cơ học không tuyến tính. Con lắc thường là đề tài ông dùng để chứng minh cho sinh viên sự phức tạp của hiện tượng gây nên bởi một giảm thiểu không tuyến tính có mặt trong phương trình chuyển động.

 

Ông có một hiểu biết thâm sâu về khảo cứu của giới khoa học Nga, đặc biệt là với tính ổn định động lực phát triển bởi Lyapunov. Mùa hè năm 1962, khi ông muốn tôi cùng một anh bạn khác khảo sát về dao động điều hòa, ông đã nhìn ra được một điều gì vì ngay năm 1963 ông đã khám phá được một hiện tượng mới, đó là sự chuyển tiếp từ chuyển động bình thường sang một chuyển động mà sau này được gọi là động lực học hỗn độn. Vào buổi phôi thai này, có lẽ Joe Ford là người nhận thức được hơn mọi ai khác tiềm ẩn sâu sắc và quan trọng của hiện tượng (nhớ lại, cũng năm này, Edward Lorenz cho đăng bài nghiên cứu về sự biến động của khí quyển). Ông tiếp tục làm việc không ngừng, ở giai đoạn này, vật lý đối với ông đồng nghĩa với hỗn độn; chính ông đã thu thập, sao chép để thiết lập và phổ biến trích yếu Nonlinear Science Abstracts, sau cùng xây dựng cơ sở cho tạp chí chuyên đề đầu tiên về động lực học không tuyến tính, Physica D. Mùa hè năm 1977, Ford cùng một nhà vật lý người Ý Giulio Casati tổ chức cuộc hội thảo quốc tế đầu tiên về hỗn độn tại một biệt thự bên hồ Como miền bắc nước Ý, nơi đã chứng kiến nhiều buổi họp mặt quan trọng về khoa học trong dịp hè.

 

Trở lại chuyện của tôi và con lắc; sau khi đã đọc xong Lyapunov và một số bài viết liên hệ khác, tôi bắt tay vào việc. Vì bài toán ở đây không có lời giải giải tích, tôi viết những phương trình dưới dạng thích hợp cho việc tính toán; vấn đề bây giờ là sản xuất những con số, mà phải bằng máy tính. Đến đây tôi lúng túng vì lẽ, đúng hay sai, tôi không mặn mà lắm với việc học vật lý qua máy tính. Đầu thập niên 1960, máy tính không user-friendly như ngày nay, nào là viết chương trình rồi phải tự mình cho máy chạy, rất phức tạp. Hơn nữa, ít khi tôi ngồi qua được một giờ học ngôn ngữ Algol cho máy tính mà không ngủ gật. Tôi trình bầy những khó khăn của tôi với giáo sư Ford. Nhìn mặt Ford, trông có vẻ thất vọng nhưng ông không thúc ép mà cũng không khuyến khích; ngồi nói chuyện hồi lâu, ông hỏi tôi có ý định học về gì? Tôi buột miệng trả lời là tôi định tiếp tục học vật lý hạt nhân (nuclear physics).

 

Qua ánh mắt như giễu cợt của Ford, tôi có thể nhìn thấy điều ông nghĩ: mấy tên thế giới thứ ba lúc nào cũng chỉ muốn làm “Bom”. Tôi muốn kêu to “Không phải như vậy!” Câu chuyện khác hẳn thế; tôi tưởng tượng với quang phổ (spectroscopy), ngồi dưới đất ta có thể biết được chuyện trên trời; ngày ấy, tôi thấy thật hấp dẫn, nên định tâm học ngón này. Vào cuối thập niên 1950, học vật lý lãng đãng ở Sài Gòn mà biết được như vậy, tuy muộn chừng 100 năm, nhưng cũng không hẳn là tệ; tôi vốn định nói với Ford “nuclear spectroscopy” nhưng với tiếng Anh của tôi hồi đó, phát âm chữ “spectroscopy” lắm vần quá nên kiếm chữ ngắn hơn.

 

Điều trớ trêu là chỉ mấy năm sau đó tôi phải ngồi suốt đêm giải một bài toán bằng tay cho một bài viết, với sự trợ giúp của một máy tính cơ động trên bàn. Luôn luôn mắc lỗi, trong đêm khuya, máy chạy đi chạy lại lạch cạch kêu vang to khiến anh bạn đồng nghiệp buồng bên sốt ruột, chạy sang hỏi rồi ném cho cuốn ngôn ngữ Fortran. Từ đó tôi học biết dùng máy tính.

 

“Mình bò thực!” (Can điểu ma! Bạn tôi kể Lỗ Trí Thâm của Thủy Hử, trong lúc trèo lên núi, bụng đói, miệng khát, thân hình tiều tụy, đã buột miệng kêu). Ngồi nghĩ lại, đáng lẽ tôi phải tiếp tục làm việc với Ford, cố học dùng máy tính và làm ít nhất cho đến nơi đến chốn dự án của mùa hè năm ấy. Càng rõ nét hơn nữa, nhất là về sau này tôi biết thêm chính Ford cũng là người đi tiên phong khảo cứu liên hệ sâu sắc của hỗn độn tất định và phương trình vi phân. Riêng bạn tôi chăm chỉ tiếp tục làm luận án tiến sĩ với Ford, hai tháng trước khi anh bảo vệ luận án, Hải quân Hoa Kỳ đến nhặt anh đi, cho việc làm ở một cơ sở nghiên cứu của hải quân ở Maryland; tôi không có dịp hỏi anh có job về động lực học không tuyến tính hay vì tài dùng máy tính? Ngày ấy, chỉ riêng tài dùng máy tính ở trình độ của anh cũng đủ để có job thơm.

 

Năm 2000 tôi làm việc ở Indianapolis, Indiana; tình cờ đọc cuốn Chaos... của James Gleick, thấy nhắc đến những cố gắng của Joseph Ford nhiều lần, tôi gọi điện thoại đến Atlanta hỏi thăm, với ý định về thăm trường cùng các thầy học cũ, một việc tôi đã dự định từ nhiều năm, mới biết ông đã qua đời năm 1995 vì ung thư. Rất bất ngờ vì Ford là người khỏe mạnh, ưa chuộng thể thao và khi ấy ông mới 68 tuổi. Tôi vẫn có ý định, nếu có dịp, hỏi lại Ford về cái nhìn giễu cợt của ông khi hỏi tôi muốn học gì, vừa để chọc ông vừa muốn biết xem có đúng như tôi nghĩ hay không? Chắc rất vui vì đúng hay sai, với Ford, tôi biết là ông sẽ cho tôi thêm một câu trả lời đích đáng!

 

*

 Joseph Ford là một trong mấy ông thầy favorite của tôi ở đại học, ở trung học tôi có thầy Nguyễn Văn Hai và ở tiểu học, thầy giáo Công. Thầy giáo Công dậy tôi trong mấy vụ hè khi tôi 7, 8 tuổi. Nhờ thầy tôi có được thú đọc sách và ham thích khoa học, nhất là toán. Và có lẽ cũng chính thầy đã định hướng giùm tôi học toán ứng dụng như kiểu dùng trong vật lý: toán của thầy là cứ làm như thế, như thế... không nhất thiết phải biết tại sao, tại sao sẽ đến sau. Tôi đã kể chuyện thầy giáo Công trong bài Cỗi rễ bậc hai in ở đâu đó.

 

Tôi học thầy Hai ở năm cuối cùng của trung học tại trường Quốc Học, Huế. Tôi “thích” ông ngay từ buổi học đầu tiên. Nguyên nhân đưa đến sự hấp dẫn này thường mơ hồ, có thể không có lý do hay cũng có thể chỉ vì một cử chỉ nào đó; ở ông dáng vẻ tự tin, tính trẻ trung, đầy năng động là những điều ấn tượng. Tôi nhớ mãi một buổi chiều nóng bức, ông họp mấy lớp đệ nhất lại làm một để trả bài toán. Tôi ngủ quên, đến muộn mấy phút, đang định đi vào chỗ ngồi thì ông gọi lại, nói “cho về nghỉ một tuần để ngủ!” Tôi xin lỗi, ra về, bụng cười thầm có lẽ vì tính trẻ nên ông thầy gồng một tí, nạt cho biết phép nhưng lòng tôi thanh thản, không oán trách.

 

Vào học chưa được bao lâu thì đã đến kỳ thi lục cá nguyệt; bài thi ông cho là một bài tính concours général bên Pháp về hình học, khá dài gồm ba phần, mỗi phần gồm nhiều câu hỏi. Hình học là món sở trường của tôi ở những lớp dưới, nhưng niên học này trong nhiều tuần lễ, tôi cứ lấn cấn mãi, muốn hiểu lý do tại sao mấy định lý rất hiển nhiên về phép biến đổi được in trong sách (viz., phép quay là một phép rời hình). Hỏi bạn tôi, Vũ Đình Minh (bác sĩ, nhà văn Mai Kim Ngọc tương lai), một trong những trò cưng của ông, anh gạt đi, “Hiển nhiên, thế mà cũng hỏi...” OK, hiển nhiên, nhưng điều đó không giúp tôi làm toán, vào thi sửa soạn của tôi quá tồi tệ. Sau này, thỉnh thoảng có dịp, tôi đã hỏi ít nhất là ba bạn cùng lớp, xem các bạn làm được mấy phần bài thi. Không ai cho tôi một câu trả lời rõ ràng; riêng tôi, tôi sẽ không nói đã làm được bao nhiêu câu, điều chắc chắn là bài thi của tôi không gây được chút ấn tượng nào trên thầy Hai.

‎

Tất nhiên tôi không thể là thành phần của một thiểu số chọn lọc – trò cưng của ông; tôi nghe nói trong đám này có người vừa thi xong Tú tài I, trong vụ hè, đã ngồi học, cặm cụi giải hết những bài toán trong cuốn hình học của Tú tài II! Dẫu vậy, đối với tôi thầy Hai luôn luôn là ông thầy favorite. Nhiều năm về sau, nhân dậy một lớp toán về phương trình vi phân, thấy bài giải của một bài toán có mấy chùm vòng tròn, tôi bèn nói về ý nghĩa hình học của bài giải. Chẳng mấy chốc thấy mắt của nhiều sinh viên mờ đục mất thần, tôi đã định ngừng nhưng vì thấy một cô sinh viên ngồi bàn đầu vẫn tiếp tục chép chép ghi ghi, mặt trông ra vẻ rất thích thú, nên tôi tiếp tục. Hết giờ học, cô lên hỏi tôi mấy câu gì đó và cảm ơn đã gợi lại cho cô một thời của trung học. Thì ra cô là con ông tham vụ văn hóa của tòa đại sứ Pháp; cô và tôi, ở một dĩ vãng gần xa nào đó, đã cùng sống những giây phút không quên của mát-tê-lem (math elem.) Thật vậy, chính khi vẽ mấy vòng tròn trên bảng, tôi đột nhiên nhớ đến thầy Hai và những buổi chiều nóng nực ngồi nghe ông giảng hình học, không ngủ gật, nên hứng chí giảng lại mẩu hình học trung học này. Duy có điều thứ hình học này rất xa lạ trong các trường trung học Bắc Mỹ nên trong một lớp cả trên trăm người mà chỉ có một thầy một trò thông hiểu nhau, tha hương ngộ cố tri !?

 

Nói đến Quốc Học và thầy Hai, tôi không thể không nhắc đến bạn tôi, Cao Huy Thuần (CHT). Một trong những duyên dáng (và có lẽ cũng nguy hiểm) của Huế là Huế có một sinh hoạt đời sống thôn xóm, ở chỗ, như gió thì thầm qua kẽ lá, tin tức to nhỏ lan truyền rất nhanh. Mới đến đất thần kinh, tôi chưa gặp CHT (anh và tôi học khác ban; CHT ban triết, tôi ban toán) nhưng tôi cũng đã biết tiếng anh là một trong những cao thủ của Quốc Học và đã được nghe các bạn kể chuyện CHT thi trượt vấn đáp Tú tài I khóa đầu và chỉ mới đỗ ở khóa hai. Chuyện này phản lại mọi lô-gic, bởi vì câu hỏi có thể đặt ra không phải là CHT “có thi đỗ hay không” mà là “sẽ đỗ cao bao nhiêu? ” Vậy trượt như thế nào? Thưa rằng trượt vấn đáp về vật lý với thầy Hai.

 

Hơn nửa thế kỷ sau, anh viết một bài vừa vui vừa uyên thâm, cũng hơi buồn nữa, có tên Điện là gì, kể lại kinh nghiệm khoa bảng của mình. Tên bài viết là câu hỏi vấn đáp anh rút thăm được. Tôi không nghĩ chàng trai này “đi học nghe chim giảng” vì một câu hỏi như vậy có thể làm nhiều người lúng túng; với một thí sinh ban sinh ngữ, vật lý học cho vui, mỗi tuần một giờ, vào thi vấn đáp hệ số 1, chỉ được 1/4 điểm, CHT vẫn thừa sức đỗ. CHT cố tìm câu trả lời vừa phải sao đó, nhưng đã bị thầy Hai trả lại thẻ thí sinh và như anh kể lại, “Có nghĩa là cái thằng tôi đã đi đời nhà ma.” Có lẽ đây là lần đầu tiên CHT được ăn trứng trong đời đi học, mà lại được ăn vào thời điểm quyết định nhất! Bây giờ nhìn lại, với kinh nghiệm của quá nửa đời người, chuyện thi trượt này quá bình thường, nó tuyệt đối không làm hại tiếng tăm của CHT; cùng lắm nó để lại vài cái sẹo nho nhỏ trên tấm thân khoa bảng ngọc ngà, như kiểu rỗ hoa, nên càng thêm đậm đà, bắt mắt.

 

Có thể thầy Hai vì chút cường điệu đã đánh trượt anh, cũng có thể ông để anh thi lại để cho anh đỗ cao. Cũng may là ban triết ít người nên dù đỗ khóa hai anh vẫn được vào lớp 1C1 (Đệ Nhất C1), nếu ở ban B anh sẽ vào lớp 1B2. Tuy không ai nói ra, trong văn hóa của ta, ngồi chiếu tiên chỉ vẫn có phần thoải mái hơn; có bạn sau này viết một bài dài, rất duyên dáng, tả lại đời sống “lầm than”, miệt mài suốt mấy năm dài trung học ở những lớp Bn (n > 1)!

 

Năm 2007, tôi nghe Thanh Hà của đài RFI giới thiệu Chagrin d'Ecole, Nỗi buồn trường học, tác phẩm được giải Renaudot năm đó, kể lại câu chuyện của một cậu học trò dốt, của một ông vua zê-rô về môn chính tả... (có lần cậu ta được tới âm 38), tôi có cảm tình với cậu ta ngay. Renaudot là một trong những giải thưởng giá trị của văn học Pháp và ông vua zê-rô này là Daniel Pennac, tác giả và nhân vật chính của cuốn sách. Daniel Pennacchioni, tên thật của tác giả, dốt đến độ, một lần tuyệt vọng, đã viết thư xin mẹ cho thôi học để đi lính, nhưng có những may mắn khiến anh ta ở lại trường để rồi lớn lên, trở thành thầy giáo và một cây bút vững chắc của làng văn học Pháp.

 

Năm 25 tuổi, Daniel Pennac học cũng xong và có được job đầu tiên, dậy Pháp văn! Ngày 30 tháng 9 năm 1969, anh nhận được bức thư đầu tiên của ông bố gửi cho đứa con nay đã nên người (au fils devenu, chữ viết nghiêng của tác giả), gửi đến trường nơi anh dậy mới được một tháng; bức thư nhẹ nhàng, giọng thư thân mật bố con trò chuyện, mà anh còn giữ đến tận bây giờ, 2007, một thầy giáo già đã nghỉ hưu:

 

Mãi đến ngày hôm nay, tôi mới chú ý đến một chi tiết nhỏ: trên phong bì, bố tôi đề tên người nhận là “Giáo sư Daniel Pennacchioni”. Tôi đã mất hơn nửa đời người để nghe thấy trong hai chữ giáo sư ấy tiếng gào thét âm thầm vì vui sướng...

 

Ce hurlement de joie... Nghe cô kể đến đây, lòng tôi rộn lên, tôi quyết định sẽ xuống phố mua Nỗi buồn trường học về đọc cho đã. Có được sách, người đọc biết thêm một chi tiết vui vui: bìa ngoài sau cuốn sách là một trang học bạ của tác giả; môn Pháp văn, trung bình của cả lớp là 14,2 và của tác giả là 7, với lời phê của giáo sư: Elève gai, mais triste élève. Với một văn phong dí dỏm, cảm động tác giả mổ xẻ, phân tích nguyên nhân sự dốt nát cùng những phiêu lưu, những bài học thu nhận được của mình trong mười năm đi học. Tôi muốn kể nhiều hơn nhưng dừng ở đây, đã đi quá xa sổ ghi thời đi học.

 

Có một thời, tôi say mê Trịnh Công Sơn, cứ mỗi khi đặt bút viết hay mở miệng nói là y như rằng có một từ, một hình ảnh hay một cái gì đó mượn của họ Trịnh; rồi khi ông qua đời, mở mắt ra là thấy khắp mọi nơi người ta thi nhau nói thân phận, thân phận, thân phận... Thân phận choán ngộp, thân phận làm tôi ngạt thở; bản năng sinh tồn chỗi dậy, tôi muốn hét lên thực to, “Please stop!” Rồi cũng qua đi, ngồi yên lặng thở thật lâu, quả thực... thân phận, hay kiếp người, cả hai. Khoác cho CHT và Daniel Pennac cái áo thân phận hay kiếp người có lẽ không vừa, mầu không hợp, nhưng vì hôm nay, mấy dòng này viết đúng vào April Fools' Day, ngày Trịnh Công Sơn mất, mới đấy mà đã hơn mười năm, nên cứ để đây, thử xem. Cho điên một thể!

 

Daniel Pennac sinh ra đời, như người ta thường nói, đã có sẵn chiếc thìa bằng bạc ở miệng, được nuôi dưỡng trong một môi trường điều kiện tối ưu, cả tinh thần lẫn vật chất (...Père polytechnicien, mère au foyer, pas de divorce,... nourriture saine, bibliothèque à la maison, culture ambiante conforme au milieu et à l'époque: peinture jusqu'aux impressionnistes, poésie jusqu'à Mallarmé, musique jusqu'à Debussy...), đời sống của đứa trẻ dường như đã được hoạch định sẵn, rồi ra chẳng polytechnicien thì cũng normalien, nếu không có cái tai nạn học dốt khốn khổ kia, một tai nạn mà tác giả phải đeo đằng đẵng suốt thời niên thiếu.

 

Còn CHT thì khác hẳn, anh ở đầu đường kính bên kia của tai nạn đó:

 

          Đường mây rộng thênh thênh cử bộ...

 

Con đường hoạn lộ của anh thênh thênh rõ ràng, vậy mà cũng vẫn gặp tai nạn, để vấp ngã sứt trán một tị! Một thứ tai nạn khác; tai nạn bao giờ cũng bất ngờ và tai nạn của CHT thì hoàn toàn bất ngờ. Nhưng giả dụ thầy Hai có hỏi anh muốn thầy cho 1/4 điểm để đỗ hay không thì tôi ngờ rằng CHT sẽ xin thầy đánh trượt, bởi vì với chọn lựa kia anh sẽ phải sống chung hòa bình với một đám đông hỗn tạp, passable, trong đó có biết bao nhiêu lesser mortals tồn tại được là nhờ avec indulgence du jury (có một năm ở Đại học Khoa học Sài Gòn, tôi thấy kết quả thi, ở cột “Mention”, dưới những “Passable”, là một cọc “Avec indulgence du jury”, có lẽ cô thư ký văn phòng này mới, vì ngày hôm sau thấy tờ kết quả khác, tất cả được sửa thành “Passable”). Ngoài ra còn một lý do thực tế khác: có nhiều người, vì một môn vấn đáp nào đó không khá lắm, đã bỏ để thi lại khóa sau; trường hợp này không hiếm, đỗ cao để tiện việc đi du học ngoại quốc.

 

Sống suốt thời niên thiếu với một hiện tại mơ hồ và một ngày mai không lối thoát hay học giỏi nhất nhì cả trường mà phải ngồi học ba tháng hè để thi lại vấn đáp tất nhiên để lại những vết thương; những vết thương đó liệu có bao giờ lành không? Mặc dù hơn nửa thế kỷ đã trôi qua, trong khoảnh khắc CHT thấy vết thương vẫn còn “tươi roi rói”, nhưng anh cũng rút tỉa được từ đó một bài học tích cực cho đời sống; nếu đó quả là một bất công cho anh, anh sẽ không để bất công đó xẩy ra cho người khác. Riêng tôi, tôi nghĩ vết thương nào thì cũng lành vì giản dị là, nếu không, ta sẽ không còn ngồi đây để mà than vãn; trong trường hợp của tác giả Nỗi buồn trường học, nếu nghỉ học như thư ông viết cho mẹ, có lẽ ông đã biến mất aux colonies xa xăm nào đó - Algérie (?)

 

Một đặc điểm rất tiêu biểu, chung cho chủ nhân của tất cả những vết thương này là họ đều là những người thành đạt, cao thấp khác nhau nhưng thành đạt. Thời gian trôi qua, vết thương tuy đã mờ nhạt, không còn đau đớn nhưng vẫn còn nổi cộm trong tâm thức, để đến một lúc đột nhiên những thôi thúc rất hữu cơ thúc giục chủ nhân của chúng mở ra xem lại, ngắm nghía như khách bàng quan, đánh bóng một tị, những thương đau ngày xưa như những vòng tròn dang dở nay được khép kín, nhẵn nhụi, tròn trịa, viên mãn. Như tác giả Nỗi buồn trường học trả lời phỏng vấn của đài RFI, nó cho phép tôi tính sổ với chính mình... Có lẽ không định như vậy, nhưng tự nhiên có một huy hiệu danh dự - a badge of honor, thỉnh thoảng ta đeo trước ngực, cũng vui:

 

          A vaincre sans péril...

 

Thầy Hai không là một ông thầy ác độc; những học trò của ông, học hành chăm chỉ và không đến nỗi tệ, ai cũng đỗ cả; một bạn của tôi ở Bắc vào, thi với ông đỗ ngay khóa đầu: một học trò đứng đắn thi vấn đáp trượt hai lần lỗi có thể vẫn tại anh ta, trượt bốn lần lỗi là ở hệ thống, bạn tôi trượt vấn đáp Tú tài I ở Hà Nội sáu (6) lần! Thầy Hai không lầm vì học trò của ông, những người đỗ đạt, người nào cũng tương đối thành công: giáo sư, bác sĩ, kỹ sư, nha sĩ...

 

Năm 2000 tôi sống ở Indianapolis, IN, cách Louisville, KY, nơi thầy Hai sống, chưa đầy hai trăm cây số; tôi gửi điện thư xin đến thăm thầy. Sau hai giờ lái xe, gặp cả thầy cô, thêm tuổi nhưng vẫn mạnh khỏe. Tôi sẽ không bao giờ quên ngày hôm đó, nói chuyện hơn nửa ngày vui vẻ. Thầy cô đưa tôi đi ăn ở một tiệm ăn thanh lịch, trên bờ sông Ohio. Sông Ohio khúc rộng nhất ở Louisville, sông mênh mông, thuyền bè đi lại trên sông tấp nập, thật hữu tình, tôi chợt nhớ vùng đất này cũng là xứ sở của Mark Twain, một tác giả mà tôi ưa thích với những nhân vật dễ thương Tom Sawyer và Huckleberry Finn. Chuyện thăm hụt Joseph Ford và chuyến viếng thăm này cho tôi thêm bài học: một việc, nếu đáng làm, không bao giờ nên trì hoãn. 

*

 Trở lại câu chuyện còn dở ở phần trên, phương trình chuyển động của con lắc được tuyến tính hóa bằng cách chỉ xét đến những dao động nhỏ, ta có thể giải phương trình và được kết quả là chuyển động tuần hoàn như đã mong đợi, con lắc chạy đi chạy lại – hai chiều.

 

Ian Stewart trong cuốn Does God Play Dice? kể một kịch vui của N. F. Simpson có tên là One Way Pendulum. Chắc hẳn Simpson thấy ý tưởng con lắc một chiều ngộ nghĩnh; ông ta muốn chơi chữ: nếu con lắc hai chiều chạy đi chạy lại – two (to) and fro – thì con lắc một chiều tất nhiên phải chạy one and fro! Thế nhưng, trong trường hợp tổng quát, con lắc có thể chạy một chiều! Thí dụ cái lúc lắc trẻ con cầm tay quay quay hay chuyển động quay tròn như cánh quạt tầu bay.

 

Như trên đã nói, giải bài toán con lắc trong trường hợp tổng quát khá phức tạp. Trong phần này, ta sẽ không tìm cách giải phương trình chuyển động, mà chỉ dùng hình học để khảo sát vật lý chuyển động của con lắc. Để cho mục đích này, ta vẽ một hình gọi là chân dung pha (phase portrait) của chuyển động.

 

Muốn xác định chuyển động của con lắc, ta cần biết vị trí và vận tốc của nó. Gọi hai đại lượng này là x và v rồi vẽ hai trục thẳng góc x (ngang) và v (dọc) trên một tờ giấy đồ thị. Tưởng tượng con lắc bắt đầu chuyển động ở thời điểm lúc đầu t_o, ta ghi trị số của x và v ở thời điểm này, sau đó đo x và v ở mỗi phần trăm của một giây và đánh dấu bằng một dấu chấm cho mỗi cặp (x,v) trên đồ thị; ta sẽ được một chuỗi những dấu chấm sát gần nhau. Nối những dấu chấm ta được một đường cong gọi là quỹ đạo tương ứng với vị trí và vận tốc lúc đầu.

 

Tương ứng với mỗi vị trí và vận tốc lúc đầu ta có một quỹ đạo. Với con lắc lý tưởng, dao động nhỏ, chạy đi chạy lại như trong đồng hồ quả lắc, quỹ đạo là những vòng tròn đồng tâm. Một điều rất quan trọng nên để ý là muốn có một chuyển động tuần hoàn, quỹ đạo phải là một đường cong kín bởi vì, nếu không, con lắc (hay bất cứ một hệ thống vật lý nào) sẽ không bao giờ trở lại được vị trí cũ với cùng một vận tốc, và như vậy, sẽ không có chuyển động tuần hoàn.

 

Quỹ đạo của con lắc trong trường hợp tổng quát, cấu trúc cầu kỳ hơn, có thể có những đường cong không kín; tập hợp của những quỹ đạo này là chân dung pha như hình vẽ ở dưới:

 

 

 

Vẽ chân dung pha như tả ở trên quả thực không dễ; tuy nhiên, nếu có một laser để đo x và v, một máy tính để xử lý những số liệu và một máy vẽ đồ thị, ta có thể kiểm chứng thí nghiệm và vẽ quỹ đạo khá dễ dàng. Ian Stewart ước lượng, chừng 10 000 bảng Anh sẽ đủ để mua những dụng cụ này (giá cho khoảng năm 1989; đây là một món tiền khổng lồ, vì lạm phát có lẽ tương đương với 40 000 bảng Anh ngày nay, và máy tính đáng giá 3 000 bảng Anh ngày ấy chưa chắc đã tốt bằng máy tính đáng giá 300 mua năm nay, 2012).

 

Tốn quá! Thôi, ta làm Vật lý kiểu con nhà nghèo – Vật lý lý thuyết! Chân dung pha, như vẽ ở trên, cơ bản là diễn tả sự tương quan giữa vị trí x và vận tốc v. Mặt khác, ta biết một hệ quả toán học của định luật Newton là định luật bảo toàn năng lượng. Năng lượng toàn phần E của con lắc trên cùng một quỹ đạo không thay đổi và bằng tổng số của động năng T (tỷ lệ với ½ v²) và thế năng V(x):

 

     E = T + V = hằng số trên một quỹ đạo nhất định, 

 

Chọn đơn vị thích hợp cho các đại lượng liên quan đều bằng đơn vị (thí dụ khối lượng của con lắc); định luật bảo toàn năng lượng cho con lắc lý tưởng có thể viết:

 

      E = ½ v² + sin x    =>    v = ±√ [E - 2 sin x ]

 

Hệ thức trên chính là hệ thức diễn tả sự tương quan giữa vị trí x và vận tốc v mà ta muốn có. Mỗi trị số của E tương ứng với một năng lượng toàn phần E của con lắc trên cùng một quỹ đạo. Vì năng lượng E (hay E) bao gồm cả vị trí x lẫn vận tốc v, thay vì cho x và v một trị số lúc đầu, một cách tương đương, ta cho E một trị số lúc đầu. Với vài xu mua giấy vẽ đồ thị và một máy tính cầm tay chừng mươi đô-la, hệ thức cho phép ta vẽ chân dung pha ngon lành.

 

E có thể có bất cứ trị số nào. Thí dụ cho E = 1, tính √(1 - 2 sin x) với nhiều trị số của x từ -180^o đến +180^o; với mỗi trị số của x, ghi trên đường thẳng đứng kẻ ở x hai điểm có độ cao +√(1 - 2 sin x) và -√(1 - 2 sin x). Nối chuỗi điểm trên đồ thị, trong trường hợp này, ta sẽ được quỹ đạo một đường cong kín, hình bầu dục.

 

Tất nhiên, nếu biểu thức (E - 2 sin x) là một số âm ta không tính được căn số. Vì vậy, nếu:

 

1.     E < -2  không có điểm nào (không có quỹ đạo),

2.     E = -2          quỹ đạo là một điểm,

3.     -2 < E < 2    quỹ đạo là những hình bầu dục,

4.     E = 2  hình bầu dục, hai mũi hơi nhọn ở hai đầu,

5.     E > 2  quỹ đạo là hai đường cong riêng biệt, một ở trên,  một ở dưới.

 

Đó là tất cả những quỹ đạo của một con lắc thật, không tuyến tính tương tự như hình vẽ ở trên. Với hình vẽ này, ta thử tìm hiểu chuyển động của con lắc trong trường hợp tổng quát.

 

1. Trừ trường hợp 1 ở trên, không thể xảy ra, không có quỹ đạo; những trường hợp khác có thể được giải thích như sau:

 

2. Điểm đơn độc ở giữa là quỹ đạo của con lắc đứng thẳng, không chuyển động (vị trí x và vận tốc v là những hằng số, v bằng 0 trong trường hợp này, vì vậy, quỹ đạo là một điểm), trị số -2 là thế năng, năng lượng thấp nhất có thể có. Ở vị trí này, con lắc ở trạng thái cân bằng bền. Bền ở chỗ một khuấy động nhỏ sẽ khiến năng lượng toàn phần của nó tăng lên, tương ứng với một quỹ đạo hình bầu dục bên cạnh, nếu có sự ma sát con lắc dao động một lúc rồi trở về vị trí cũ.

 

3. Những đường cong kín hình bầu dục là quỹ đạo của con lắc chạy hai chiều tích-tắc như trong đồng hồ. Tưởng tượng con lắc ở vị trí thấp nhất, đứng thẳng, x bằng 0, chạy về bên trái với vận tốc v là một số âm, v lớn dần, đến một lúc bằng 0, con lắc dừng lại, đổi chiều rơi xuống chạy về bên phải, v bây giờ là một số dương lớn dần, đến một lúc lớn nhất rồi bắt đầu nhỏ dần đi cho đến lúc bằng 0, lại rơi xuống đổi chiều... Cứ như thế, nếu không có sự ma sát, sẽ tiếp tục mãi mãi; vậy những đường cong kín hình bầu dục là quỹ đạo cho những chuyển động tuần hoàn.

 

4. Một cuối tuần bố mẹ dẫn cô con gái ra công viên chơi. Cho cô bé ngồi trên cái đu, đẩy giúp cô một tị. Cô bé sung sướng tiếp tục nhún đu một mình, đu nhún chạy càng ngày càng cao. Bố mẹ đứng nói chuyện, chợt nhớ đến con, bèn quay lại thấy cô con gái quý đang vui thích cười như nắc nẻ, đu đứng thẳng trên cao giữa trời. Tim ruột gan của bố mẹ thắt lại cùng một lúc, đu ngẫm nghĩ trong khoảnh khắc tưởng như dài vô tận rồi đổi chiều, rơi xuống lại...

 

Hệ thống con lắc gồm cái đu và cô bé ở trên quỹ đạo có năng lượng toàn phần tương ứng với quỹ đạo hình bầu dục với mũi hơi nhọn ở hai đầu (hình bầu dục có hai chấm ở hai đầu). Tưởng tượng con lắc lúc đầu ở vị trí đứng thẳng (x = 0) chạy đến -180^o, ở điểm này vận tốc của nó bằng zê-rô. Với vận tốc zê-rô này, nó có thể cứ đứng yên ở đó, nhưng không, nó dừng lại trong giây lát, đổi chiều, và rơi xuống như một con lắc hai chiều chạy đi chạy lại. Đứng ở vị trí đó, một cơn gió nhẹ thổi giúp cũng đủ khiến nó tiếp tục chạy, và chuyển động bây giờ biến thành chuyển động cánh quạt. Vị trí này cũng tương ứng với một trạng thái cân bằng nhưng là một cân bằng không bền, ranh giới giữa con lắc hai chiều và con lắc một chiều. Cũng may không có gió và cô bé không nhún thêm để đu quay như chong chóng…

 

5. Quỹ đạo cuối cùng là những đường cong không kín. Với quỹ đạo ở phía trên, x chạy từ -180^o đến +180^o, có nghĩa là hết cả một vòng tròn, vì vận tốc v luôn luôn là một số dương, con lắc không ngừng chạy, hay đúng hơn, không ngừng quay đều cùng một chiều nếu năng lượng được giữ không thay đổi. Đây là trường hợp giống như cánh quạt hay cái lúc lắc. Nếu quỹ đạo là một đường cong không kín ở phía dưới, ta sẽ có một chuyển động tương tự nhưng ngược chiều.

 

Như vậy, ta thấy chân dung pha chứa đựng chi tiết cho tất cả những gì con lắc có thể làm được và cho phép ta giải thích mọi hiện tượng của một con lắc tổng quát, tuyến tính hay không tuyến tính mà không hề giải phương trình chuyển động.

 

Ta còn có thể đi xa hơn thế nữa. Để ý trong trường hợp cuối cùng, quỹ đạo là những đường cong không kín. Mặt khác, ta nói đường cong không kín là quỹ đạo của chuyển động quay tròn, mà ta biết chuyển động quay tròn rõ ràng là tuần hoàn, vậy mâu thuẫn ở đâu? Lý do là vì khi x chạy từ -180^o đến +180^o, có nghĩa là con lắc đã đi hết một vòng tròn và đã trở về vị trí cũ - cùng một điểm, vì còn dư sức, nó tiếp tục chạy hoàn toàn không có vấn đề gì. Vấn đề là ở chỗ ta biểu thị một góc bằng một con số, nhưng góc sống trên một vòng tròn còn con số, trên một đường thẳng. Để có hình vẽ phẳng, ta làm như thể cắt vòng tròn ra rồi căng nó trên đường thẳng; ở chỗ cắt đánh dấu hai đầu là -180^o và +180^o (hay 0^o và 360^o cũng thế), do đó, trên hình vẽ, hai điểm -180^o và +180^o có vẻ rất xa nhau. Toán gia chuyên nghiệp sẽ nói là vòng tròn và đường thẳng có tô-pô khác nhau.

 

Để nhìn chuyển động của con lắc dễ dàng hơn, đáng lẽ căng vòng tròn trên đường thẳng ta làm ngược lại, cuốn hình vẽ lại cho đoạn thẳng thành vòng tròn; làm như vậy, hai điểm -180^o và +180^o gặp lại nhau, hai cạnh hình vẽ trùng với nhau, hai đầu quỹ đạo những đường cong không kín cũng nối lại với nhau và ta sẽ được một mặt trụ tròn trên đó tất cả những quỹ đạo nay đều trở thành những đường cong kín, như hình vẽ ở dưới:

 

 

Các toán gia có thể sẽ cho phương pháp khảo sát tô-pô này những tên fancy, khó hiểu và khó nhớ; riêng ở đây, ta thấy động lực của con lắc sống rất tự nhiên trên một mặt trụ tròn và chuyển động tuần hoàn thực ra trông cũng rất tuần hoàn (tất cả những quỹ đạo đều là những đường cong kín).

 

Mặt khác, chuyển động của con lắc có năng lượng lớn nhỏ khác nhau, chuyển động có năng lượng thấp nhất tương ứng với quỹ đạo là một điểm đơn độc, con lắc đứng yên; càng xa điểm này năng lượng càng lớn. Năng lượng càng lớn dao động càng lớn; khi năng lượng lớn hơn một giới hạn nào đó, dao động của con lắc trở thành chuyển động quay tròn. Hình vẽ ở trên không cho ta thấy những mức năng lượng đó. Để giải quyết vấn đề, ta uốn cong mặt trụ thành hình chữ U sao cho điểm quỹ đạo có năng lượng thấp nhất ở dưới cùng, chân dung pha của con lắc nay nằm trên mặt trụ chữ U như hình vẽ ở dưới:

 

 

 

Hình vẽ cho thấy ngay chuyển động của con lắc cùng mức năng lượng tương ứng. Cho một mặt phẳng cắt ngang mặt trụ chữ U ở một mức năng lượng nào đó, ta được đường cong quỹ đạo diễn tả chuyển động: Nằm dưới đáy là một điểm đơn độc, quỹ đạo của con lắc đứng yên; trên đó là những quỹ đạo tương ứng với chuyển động tuần hoàn của con lắc thường thấy; trên cao hơn, với năng lượng cao đủ, ta có hai chuyển động (tuần hoàn) quay tròn ở hai nhánh chữ U quay ngược chiều nhau.

 

Khảo sát hình học đưa ta đến một kết luận vừa phải: chuyển động của con lắc, dù một hay hai chiều, luôn luôn là những chuyển động tuần hoàn.

 

Cách khảo sát định tính ở trên cho ta thấy sức mạnh cùng sự thanh lịch của phương pháp, đặc biệt hữu ích khi ta không có thông tin nào từ lời giải giải tích. Và ngay cả khi có lời giải giải tích, sức mạnh của phương pháp cũng hiển nhiên như thí dụ sau: Nếu có một ma sát nhỏ, điều gì sẽ xẩy ra? Ta có thể tìm cách giải phương trình chuyển động, nhưng trong nhiều trường hợp, không giải nổi phương trình; riêng với con lắc, ta có thể tìm thử câu trả lời dùng hàm elliptic v.v. nhưng đó không phải là giải pháp giản dị nhất. Thử nhìn vào mức năng lượng trên mặt trụ chữ U, có ma sát nghĩa là mất một chút năng lượng, con lắc đang ở quỹ đạo trên sẽ đi xuống quỹ đạo dưới. Giả dụ con lắc có một năng lượng cao, quay tròn nhanh, nhưng vì ma sát, năng lượng mất dần nên nhẩy xuống những quỹ đạo dưới, con lắc vẫn quay tròn nhưng chậm dần, đến một lúc năng lượng mất quá nhiều, chuyển động không còn là chuyển động quay tròn nữa mà trở nên chuyển động con lắc bình thường, biên độ nhỏ dần rồi đứng lại, phù hợp với lẽ thường, như được diển tả bởi hình vẽ ở dưới:

 

 

Toàn lý luận “suông” nhưng rất được việc, ta vừa kiếm ra được hết vật lý của con lắc!

 

Cuốn Ordinary Differential Equations (MIT Press, 1973), gồm những bài giảng của V. I. Arnold tại Đại học Moscow vào cuối thập niên 1960, là một cuốn sách hiếm quý ở chỗ những khái niệm đương đại tiềm ẩn, liên hệ tới phương trình vi phân được giới thiệu ở trình độ cơ bản của đại học. Nội dung những bài giảng ở đây hoàn toàn khác với những sách toán thường thấy có cùng tên, sách đầy những hình vẽ, nhấn mạnh khía cạnh hình học và khía cạnh định tính của hiện tượng được khảo sát. Như một ứng dụng của phương trình vi phân trong cơ học, con lắc được dùng làm thí dụ ngay từ đầu để rồi sau đó hiệu lực của những khái niệm cùng phương pháp trình bầy trong sách được đem ra thử nghiệm.

 

Classical Dynamics of Particles and Systems (2nd Ed., Academic Press, 1970) của Jerry B. Marion là một cuốn sách về Cơ học tương đối mới, có cả một chương về con lắc và Nonlinear Oscillations với nhiều chi tiết.

 

Chaos, Making a New Science (Penguin Books, 1987) của James Gleick và Does God Play Dice? (Penguin Books, 1990) của Ian Stewart là những cuốn sách phổ thông rất hay về Chaos; phần con lắc ở đây phỏng theo Ian Stewart.

 

 

 

 

 

 

 

 NGUYỄN ĐỨC TƯỜNG

Gatineau 04/2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

               

 

 

       

       

 

 

 

 

 

 

 

Trang XUÂN 2013 - Văn Học Nghệ Thuật Và Quê Hương